Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{1}{6}} \frac{1}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x$

Etapa 1

Escreva a expressão usando expoentes.

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Etapa 1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{1}{6}} \frac{1}{\sqrt{1^{2} - 9 x^{2}}} d x$

Etapa 1.2

Reescreva $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{1}{6}} \frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(3 x)}^{2}}} d x$

Etapa 2

Deixe $u = 3 x$ . Depois, $d u = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 3 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 2.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 2.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Etapa 2.3

Multiplique $3$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 (\frac{1}{6})$

Etapa 2.5

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.5.1

Fatore $3$ de $6$ .

$u_{upper} = 3 \frac{1}{3 (2)}$

Etapa 2.5.2

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = 3 \frac{1}{3 \cdot 2}$

Etapa 2.5.3

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u$

Etapa 4

A integral de $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ com relação a $u$ é $\arcsin (u)$

$\frac{1}{3} \arcsin (u)]_{0}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 5

Avalie $\arcsin (u)$ em $\frac{1}{2}$ e em $0$ .

$\frac{1}{3} (\arcsin (\frac{1}{2}) - \arcsin (0))$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{6}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{π}{6} - \arcsin (0))$

Etapa 6.1.2

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{π}{6} - 0)$

Etapa 6.1.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{π}{6} + 0)$

Etapa 6.2

Some $\frac{π}{6}$ e $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{π}{6}$

Etapa 6.3

Multiplique $\frac{1}{3} \cdot \frac{π}{6}$ .

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Etapa 6.3.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{π}{6}$ .

$\frac{π}{3 \cdot 6}$

Etapa 6.3.2

Multiplique $3$ por $6$ .

$\frac{π}{18}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{π}{18}$

Forma decimal:

$0.17453292 \dots$

Etapa 8