Cálculo Exemplos

$\int x \sin (2 x) d x$

Etapa 1

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{u}{2} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $\frac{u}{2}$ e $\sin (u)$ .

$\int \frac{u \sin (u)}{2} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.2

Multiplique $\frac{u \sin (u)}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u \sin (u)}{2 \cdot 2} d u$

Etapa 2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\int \frac{u \sin (u)}{4} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \int u \sin (u) d u$

Etapa 4

Integre por partes usando a fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , em que $w = u$ e $dv = \sin (u)$ .

$\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) - \int - \cos (u) d u)$

Etapa 5

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) - - \int \cos (u) d u)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) + 1 \int \cos (u) d u)$

Etapa 6.2

Multiplique $\int \cos (u) d u$ por $1$ .

$\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) + \int \cos (u) d u)$

Etapa 7

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$

Etapa 8

Reescreva $\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$ como $\frac{1}{4} (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$ .

$\frac{1}{4} (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\frac{1}{4} (- (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x)) + C$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} (- 2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)) + C$

Etapa 10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{4} (- 2 x \cos (2 x)) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Etapa 10.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.3.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} (- 2 x \cos (2 x)) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Etapa 10.3.2

Fatore $2$ de $- 2 x \cos (2 x)$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 (- x \cos (2 x))) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Etapa 10.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 (- x \cos (2 x))) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Etapa 10.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} (- x \cos (2 x)) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Etapa 10.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$- \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Etapa 10.5

Combine $\cos (2 x)$ e $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Etapa 10.6

Combine $\frac{1}{4}$ e $\sin (2 x)$ .

$- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Etapa 10.7

Reordene os fatores em $- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Etapa 11

Reordene os termos.

$- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$