Cálculo Exemplos

$\int \frac{4 x}{e^{5 x^{2}}} d x$

Etapa 1

Deixe $u_{1} = 5 x^{2}$ . Depois, $d u_{1} = 10 x d x$ , então, $\frac{1}{10} d u_{1} = x d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe $u_{1} = 5 x^{2}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie $5 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Etapa 1.1.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$5 (2 x)$

Etapa 1.1.4

Multiplique $2$ por $5$ .

$10 x$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{4}{e^{u_{1}}} \cdot \frac{1}{10} d u_{1}$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Multiplique $\frac{4}{e^{u_{1}}}$ por $\frac{1}{10}$ .

$\int \frac{4}{e^{u_{1}} \cdot 10} d u_{1}$

Etapa 2.2

Mova $10$ para a esquerda de $e^{u_{1}}$ .

$\int \frac{4}{10 \cdot e^{u_{1}}} d u_{1}$

Etapa 2.3

Cancele o fator comum de $4$ e $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\int \frac{2 (2)}{10 e^{u_{1}}} d u_{1}$

Etapa 2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Fatore $2$ de $10 e^{u_{1}}$ .

$\int \frac{2 (2)}{2 (5 e^{u_{1}})} d u_{1}$

Etapa 2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{2 \cdot 2}{2 (5 e^{u_{1}})} d u_{1}$

Etapa 2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\int \frac{2}{5 e^{u_{1}}} d u_{1}$

Etapa 3

Como $\frac{2}{5}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{2}{5}$ para fora da integral.

$\frac{2}{5} \int \frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{1}$

Etapa 4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Negative o expoente de $e^{u_{1}}$ e o mova para fora do denominador.

$\frac{2}{5} \int 1 {(e^{u_{1}})}^{- 1} d u_{1}$

Etapa 4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{u_{1}})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5} \int 1 e^{u_{1} \cdot - 1} d u_{1}$

Etapa 4.2.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $u_{1}$ .

$\frac{2}{5} \int 1 e^{- 1 \cdot u_{1}} d u_{1}$

Etapa 4.2.1.3

Reescreva $- 1 u_{1}$ como $- u_{1}$ .

$\frac{2}{5} \int 1 e^{- u_{1}} d u_{1}$

Etapa 4.2.2

Multiplique $e^{- u_{1}}$ por $1$ .

$\frac{2}{5} \int e^{- u_{1}} d u_{1}$

Etapa 5

Deixe $u_{2} = - u_{1}$ . Depois, $d u_{2} = - d u_{1}$ , então, $- d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Deixe $u_{2} = - u_{1}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Diferencie $- u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}]$

Etapa 5.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $- u_{1}$ em relação a $u_{1}$ é $- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 5.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{2}{5} \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{2}{5} (- \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 7

A integral de $e^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $e^{u_{2}}$ .

$\frac{2}{5} (- (e^{u_{2}} + C))$

Etapa 8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Simplifique.

$\frac{2}{5} (- e^{u_{2}}) + C$

Etapa 8.2

Combine $\frac{2}{5}$ e $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{2 e^{u_{2}}}{5} + C$

Etapa 9

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- u_{1}$ .

$- \frac{2 e^{- u_{1}}}{5} + C$

Etapa 9.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $5 x^{2}$ .

$- \frac{2 e^{- (5 x^{2})}}{5} + C$

Etapa 10

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- \frac{2 e^{- 5 x^{2}}}{5} + C$

Etapa 11

Reordene os termos.

$- \frac{2}{5} e^{- 5 x^{2}} + C$