Cálculo Exemplos

$\int {(e^{x} - e^{- x})}^{2} d x$

Etapa 1

Reescreva ${(e^{x} - e^{- x})}^{2}$ como $(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})$ .

$\int (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x}) d x$

Etapa 2

Expanda $(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int e^{x} (e^{x} - e^{- x}) - e^{- x} (e^{x} - e^{- x}) d x$

Etapa 2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} (e^{x} - e^{- x}) d x$

Etapa 2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Etapa 3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1

Multiplique $e^{x}$ por $e^{x}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int e^{x + x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Etapa 3.1.1.2

Some $x$ e $x$ .

$\int e^{2 x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Etapa 3.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\int e^{2 x} - e^{x} e^{- x} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Etapa 3.1.3

Multiplique $e^{x}$ por $e^{- x}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1.3.1

Mova $e^{- x}$ .

$\int e^{2 x} - (e^{- x} e^{x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Etapa 3.1.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int e^{2 x} - e^{- x + x} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Etapa 3.1.3.3

Some $- x$ e $x$ .

$\int e^{2 x} - e^{0} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Etapa 3.1.4

Simplifique $- e^{0}$ .

$\int e^{2 x} - 1 - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Etapa 3.1.5

Multiplique $e^{- x}$ por $e^{x}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.5.1

Mova $e^{x}$ .

$\int e^{2 x} - 1 - (e^{x} e^{- x}) - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Etapa 3.1.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int e^{2 x} - 1 - e^{x - x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Etapa 3.1.5.3

Subtraia $x$ de $x$ .

$\int e^{2 x} - 1 - e^{0} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Etapa 3.1.6

Simplifique $- e^{0}$ .

$\int e^{2 x} - 1 - 1 - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Etapa 3.1.7

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- x} e^{- x} d x$

Etapa 3.1.8

Multiplique $e^{- x}$ por $e^{- x}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1.8.1

Mova $e^{- x}$ .

$\int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 (e^{- x} e^{- x}) d x$

Etapa 3.1.8.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- x - x} d x$

Etapa 3.1.8.3

Subtraia $x$ de $- x$ .

$\int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- 2 x} d x$

Etapa 3.1.9

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\int e^{2 x} - 1 - 1 + 1 e^{- 2 x} d x$

Etapa 3.1.10

Multiplique $e^{- 2 x}$ por $1$ .

$\int e^{2 x} - 1 - 1 + e^{- 2 x} d x$

Etapa 3.2

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$\int e^{2 x} - 2 + e^{- 2 x} d x$

Etapa 4

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Depois, $d u_{1} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 4.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 4.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{- 2 \frac{u_{1}}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Combine $- 2$ e $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{\frac{- 2 u_{1}}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $2$ de $- 2 u_{1}$ .

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{\frac{2 (- u_{1})}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 5.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{\frac{2 (- u_{1})}{2 (1)}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{\frac{2 (- u_{1})}{2 \cdot 1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{\frac{- u_{1}}{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 5.2.2.4

Divida $- u_{1}$ por $1$ .

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{- u_{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} - 2 + e^{- u_{1}} d u_{1}$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} (\int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 d u_{1} + \int e^{- u_{1}} d u_{1})$

Etapa 8

A integral de $e^{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C + \int - 2 d u_{1} + \int e^{- u_{1}} d u_{1})$

Etapa 9

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C - 2 u_{1} + C + \int e^{- u_{1}} d u_{1})$

Etapa 10

Deixe $u_{2} = - u_{1}$ . Depois, $d u_{2} = - d u_{1}$ , então, $- d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 10.1

Deixe $u_{2} = - u_{1}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 10.1.1

Diferencie $- u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}]$

Etapa 10.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $- u_{1}$ em relação a $u_{1}$ é $- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Etapa 10.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 10.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 10.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C - 2 u_{1} + C + \int - e^{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 11

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C - 2 u_{1} + C - \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 12

A integral de $e^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C - 2 u_{1} + C - (e^{u_{2}} + C))$

Etapa 13

Simplifique.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} - 2 u_{1} - e^{u_{2}}) + C$

Etapa 14

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 14.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x} - 2 (2 x) - e^{u_{2}}) + C$

Etapa 14.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- u_{1}$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x} - 2 (2 x) - e^{- u_{1}}) + C$

Etapa 14.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x} - 2 (2 x) - e^{- (2 x)}) + C$

Etapa 15

Simplifique.

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Etapa 15.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1.1

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x} - 4 x - e^{- (2 x)}) + C$

Etapa 15.1.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x} - 4 x - e^{- 2 x}) + C$

Etapa 15.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} e^{2 x} + \frac{1}{2} (- 4 x) + \frac{1}{2} (- e^{- 2 x}) + C$

Etapa 15.3

Simplifique.

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Etapa 15.3.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- 4 x) + \frac{1}{2} (- e^{- 2 x}) + C$

Etapa 15.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 15.3.2.1

Fatore $2$ de $- 4 x$ .

$\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 2 x)) + \frac{1}{2} (- e^{- 2 x}) + C$

Etapa 15.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 2 x)) + \frac{1}{2} (- e^{- 2 x}) + C$

Etapa 15.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{e^{2 x}}{2} - 2 x + \frac{1}{2} (- e^{- 2 x}) + C$

Etapa 15.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{- 2 x}$ .

$\frac{e^{2 x}}{2} - 2 x - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Etapa 16

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} e^{2 x} - 2 x - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C$