Cálculo Exemplos

$\int \frac{2 r}{{(1 - r)}^{7}} d r$

Etapa 1

Deixe $u = 1 - r$ . Depois, $d u = - d r$ , então, $- d u = d r$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 1 - r$ . Encontre $\frac{d u}{d r}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $1 - r$ .

$\frac{d}{d r} [1 - r]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - r$ com relação a $r$ é $\frac{d}{d r} [1] + \frac{d}{d r} [- r]$ .

$\frac{d}{d r} [1] + \frac{d}{d r} [- r]$

Etapa 1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $1$ em relação a $r$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d r} [- r]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d r} [- r]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $- r$ em relação a $r$ é $- \frac{d}{d r} [r]$ .

$0 - \frac{d}{d r} [r]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ é $n r^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 - 1$

Etapa 1.1.4

Subtraia $1$ de $0$ .

$- 1$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 2 (- u + 1)}{u^{7}} d u$

Etapa 2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int - \frac{2 (- u + 1)}{u^{7}} d u$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{2 (- u + 1)}{u^{7}} d u$

Etapa 4

Como $2$ é constante com relação a $u$ , mova $2$ para fora da integral.

$- (2 \int \frac{- u + 1}{u^{7}} d u)$

Etapa 5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \int \frac{- u + 1}{u^{7}} d u$

Etapa 5.2

Mova $u^{7}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- 2 \int (- u + 1) {(u^{7})}^{- 1} d u$

Etapa 5.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{7})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \int (- u + 1) u^{7 \cdot - 1} d u$

Etapa 5.3.2

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$- 2 \int (- u + 1) u^{- 7} d u$

Etapa 6

Multiplique $(- u + 1) u^{- 7}$ .

$- 2 \int - u \cdot u^{- 7} + 1 u^{- 7} d u$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Multiplique $u$ por $u^{- 7}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.1.1

Mova $u^{- 7}$ .

$- 2 \int - (u^{- 7} u) + 1 u^{- 7} d u$

Etapa 7.1.2

Multiplique $u^{- 7}$ por $u$ .

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Etapa 7.1.2.1

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$- 2 \int - (u^{- 7} u^{1}) + 1 u^{- 7} d u$

Etapa 7.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 2 \int - u^{- 7 + 1} + 1 u^{- 7} d u$

Etapa 7.1.3

Some $- 7$ e $1$ .

$- 2 \int - u^{- 6} + 1 u^{- 7} d u$

Etapa 7.2

Multiplique $u^{- 7}$ por $1$ .

$- 2 \int - u^{- 6} + u^{- 7} d u$

Etapa 8

Divida a integral única em várias integrais.

$- 2 (\int - u^{- 6} d u + \int u^{- 7} d u)$

Etapa 9

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- 2 (- \int u^{- 6} d u + \int u^{- 7} d u)$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 6}$ com relação a $u$ é $- \frac{1}{5} u^{- 5}$ .

$- 2 (- (- \frac{1}{5} u^{- 5} + C) + \int u^{- 7} d u)$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Combine $u^{- 5}$ e $\frac{1}{5}$ .

$- 2 (- (- \frac{u^{- 5}}{5} + C) + \int u^{- 7} d u)$

Etapa 11.2

Mova $u^{- 5}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 (- (- \frac{1}{5 u^{5}} + C) + \int u^{- 7} d u)$

Etapa 12

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 7}$ com relação a $u$ é $- \frac{1}{6} u^{- 6}$ .

$- 2 (- (- \frac{1}{5 u^{5}} + C) - \frac{1}{6} u^{- 6} + C)$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Simplifique.

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Etapa 13.1.1

Combine $u^{- 6}$ e $\frac{1}{6}$ .

$- 2 (- (- \frac{1}{5 u^{5}} + C) - \frac{u^{- 6}}{6} + C)$

Etapa 13.1.2

Mova $u^{- 6}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 (- (- \frac{1}{5 u^{5}} + C) - \frac{1}{6 u^{6}} + C)$

Etapa 13.2

Simplifique.

$- 2 (\frac{1}{5 u^{5}} - \frac{1}{6 u^{6}}) + C$

Etapa 14

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - r$ .

$- 2 (\frac{1}{5 {(1 - r)}^{5}} - \frac{1}{6 {(1 - r)}^{6}}) + C$