Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{π} \sec^{2} (\frac{t}{4}) d t$

Etapa 1

Deixe $u = \frac{t}{4}$ . Depois, $d u = \frac{1}{4} d t$ , então, $4 d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = \frac{t}{4}$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\frac{t}{4}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{t}{4}]$

Etapa 1.1.2

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{t}{4}$ em relação a $t$ é $\frac{1}{4} \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$\frac{1}{4}$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u = \frac{t}{4}$ .

$u_{lower} = \frac{0}{4}$

Etapa 1.3

Divida $0$ por $4$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u = \frac{t}{4}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Etapa 1.5

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Etapa 1.6

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{4}} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{4}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) (1 \cdot 4) d u$

Etapa 2.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) \cdot 4 d u$

Etapa 2.3

Mova $4$ para a esquerda de $\sec^{2} (u)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 4 \sec^{2} (u) d u$

Etapa 3

Como $4$ é constante com relação a $u$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) d u$

Etapa 4

Como a derivada de $\tan (u)$ é $\sec^{2} (u)$ , a integral de $\sec^{2} (u)$ é $\tan (u)$ .

$4 (\tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Avalie $\tan (u)$ em $\frac{π}{4}$ e em $0$ .

$4 ((\tan (\frac{π}{4})) - \tan (0))$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$4 (1 - \tan (0))$

Etapa 5.2.2

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$4 (1 - 0)$

Etapa 5.2.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$4 (1 + 0)$

Etapa 5.2.4

Some $1$ e $0$ .

$4 \cdot 1$

Etapa 5.2.5

Multiplique $4$ por $1$ .

$4$