Cálculo Exemplos

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sin^{5} (2 x) \cos (2 x) d x$

Etapa 1

Deixe $u_{2} = \sin (2 x)$ . Depois, $d u_{2} = 2 \cos (2 x) d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = \cos (2 x) d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe $u_{2} = \sin (2 x)$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie $\sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.2.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Etapa 1.1.3.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{2} = \sin (2 x)$ .

$u_{lower} = \sin (2 \frac{π}{6})$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Fatore $2$ de $6$ .

$u_{lower} = \sin (2 \frac{π}{2 (3)})$

Etapa 1.3.1.2

Cancele o fator comum.

$u_{lower} = \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Etapa 1.3.1.3

Reescreva a expressão.

$u_{lower} = \sin (\frac{π}{3})$

Etapa 1.3.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{2} = \sin (2 x)$ .

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2})$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1.1

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2})$

Etapa 1.5.1.2

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = \sin (π)$

Etapa 1.5.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$u_{upper} = \sin (0)$

Etapa 1.5.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$u_{upper} = 0$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$u_{upper} = 0$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0} {u_{2}}^{5} \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 2

Combine ${u_{2}}^{5}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0} \frac{{u_{2}}^{5}}{2} d u_{2}$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0} {u_{2}}^{5} d u_{2}$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{5}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{6} {u_{2}}^{6}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{6} {u_{2}}^{6}]_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0}$

Etapa 5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Avalie $\frac{1}{6} {u_{2}}^{6}$ em $0$ e em $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{6} \cdot 0^{6}) - \frac{1}{6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6})$

Etapa 5.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 0 - \frac{1}{6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6})$

Etapa 5.2.2

Multiplique $\frac{1}{6}$ por $0$ .

$\frac{1}{2} (0 - \frac{1}{6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6})$

Etapa 5.2.3

Subtraia $\frac{1}{6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6}$ de $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6})$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6}$

Etapa 5.3.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$- \frac{1}{12} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{1}{12} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6}$

Forma decimal:

$- 0.03515625$