Cálculo Exemplos

$\int \ln (2 x + 1) d x$

Etapa 1

Deixe $u = 2 x + 1$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 2 x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \ln (u) \frac{1}{2} d u$

Etapa 2

Combine $\ln (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\ln (u)}{2} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \ln (u) d u$

Etapa 4

Integre por partes usando a fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , em que $w = \ln (u)$ e $dv = 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - \int u \frac{1}{u} d u)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Combine $u$ e $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u)$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $u$ .

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u)$

Etapa 5.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - \int d u)$

Etapa 6

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - (u + C))$

Etapa 7

Simplifique.

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - u) + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x + 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - (2 x + 1)) + C$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - (2 x) - 1 \cdot 1) + C$

Etapa 9.1.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - 2 x - 1 \cdot 1) + C$

Etapa 9.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - 2 x - 1) + C$

Etapa 9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1)) + \frac{1}{2} (- 2 x) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

Etapa 9.3

Simplifique.

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Etapa 9.3.1

Combine $\ln (2 x + 1)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) + \frac{1}{2} (- 2 x) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

Etapa 9.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.3.2.1

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) + \frac{1}{2} (2 (- x)) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

Etapa 9.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) + \frac{1}{2} (2 (- x)) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

Etapa 9.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) - x + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

Etapa 9.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) - x + \frac{- 1}{2} + C$

Etapa 9.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x) + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} \cdot 1 - x + \frac{- 1}{2} + C$

Etapa 9.4.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \frac{\ln (2 x + 1)}{2} x + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} \cdot 1 - x + \frac{- 1}{2} + C$

Etapa 9.4.3

Multiplique $\frac{\ln (2 x + 1)}{2}$ por $1$ .

$2 \frac{\ln (2 x + 1)}{2} x + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Etapa 9.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.4.4.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{\ln (2 x + 1)}{2} x + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Etapa 9.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\ln (2 x + 1) x + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Etapa 9.4.5

Para escrever $\ln (2 x + 1) x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\ln (2 x + 1) x \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Etapa 9.4.6

Combine $\ln (2 x + 1) x$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (2 x + 1) x \cdot 2}{2} + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Etapa 9.4.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\ln (2 x + 1) x \cdot 2 + \ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Etapa 9.4.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.4.8.1

Fatore $\ln (2 x + 1)$ de $\ln (2 x + 1) x \cdot 2 + \ln (2 x + 1)$ .

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Etapa 9.4.8.1.1

Fatore $\ln (2 x + 1)$ de $\ln (2 x + 1) x \cdot 2$ .

$\frac{\ln (2 x + 1) (x \cdot 2) + \ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Etapa 9.4.8.1.2

Multiplique por $1$ .

$\frac{\ln (2 x + 1) (x \cdot 2) + \ln (2 x + 1) \cdot 1}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Etapa 9.4.8.1.3

Fatore $\ln (2 x + 1)$ de $\ln (2 x + 1) (x \cdot 2) + \ln (2 x + 1) \cdot 1$ .

$\frac{\ln (2 x + 1) (x \cdot 2 + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Etapa 9.4.8.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Etapa 9.4.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2} - x - \frac{1}{2} + C$

Etapa 9.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- x + \frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - 1}{2} + C$

Etapa 10

Reordene os termos.

$- x + \frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - 1) + C$