Cálculo Exemplos

$\int \frac{40 x^{3}}{{(5 x^{4} + 3)}^{4}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 5 x^{4} + 3$ . Depois, $d u = 20 x^{3} d x$ , então, $\frac{1}{20 x^{3}} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 5 x^{4} + 3$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $5 x^{4} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4} + 3]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{4} + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{4}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $4$ por $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$20 x^{3} + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $20 x^{3}$ e $0$ .

$20 x^{3}$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{2}{u^{4}} d u$

Etapa 2

Como $2$ é constante com relação a $u$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \frac{1}{u^{4}} d u$

Etapa 3

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 3.1

Mova $u^{4}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$2 \int {(u^{4})}^{- 1} d u$

Etapa 3.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{4})}^{- 1}$ .

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Etapa 3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int u^{4 \cdot - 1} d u$

Etapa 3.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$2 \int u^{- 4} d u$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 4}$ com relação a $u$ é $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$2 (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Simplifique.

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Etapa 5.1.1

Combine $u^{- 3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$2 (- \frac{u^{- 3}}{3} + C)$

Etapa 5.1.2

Mova $u^{- 3}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{3 u^{3}} + C)$

Etapa 5.2

Simplifique.

$2 (- \frac{1}{3 u^{3}}) + C$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Etapa 5.3.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{3 u^{3}}$ .

$\frac{- 2}{3 u^{3}} + C$

Etapa 5.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{3 u^{3}} + C$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x^{4} + 3$ .

$- \frac{2}{3 {(5 x^{4} + 3)}^{3}} + C$