Cálculo Exemplos

$\int (4 x^{3} + x) \sqrt{4 x^{2} + 1} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 4 x^{2} + 1$ . Depois, $d u = 8 x d x$ , então, $\frac{1}{8} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 4 x^{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $4 x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$8 x + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $8 x$ e $0$ .

$8 x$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u \sqrt{u} \frac{1}{8} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u \cdot u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{8} d u$

Etapa 2.2

Multiplique $u$ por $u^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.1

Multiplique $u$ por $u^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int u^{1} u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{8} d u$

Etapa 2.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int u^{1 + \frac{1}{2}} \frac{1}{8} d u$

Etapa 2.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \frac{1}{8} d u$

Etapa 2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int u^{\frac{2 + 1}{2}} \frac{1}{8} d u$

Etapa 2.2.4

Some $2$ e $1$ .

$\int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{8} d u$

Etapa 2.3

Combine $u^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{8}$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{8} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{8}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{8}$ para fora da integral.

$\frac{1}{8} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{3}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva $\frac{1}{8} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ como $\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 5.2

Reescreva $\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ como $\frac{1}{20} u^{\frac{5}{2}} + C$ .

$\frac{1}{20} u^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{20} {(4 x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + C$