Cálculo Exemplos

$\int x {(4 x + 5)}^{3} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 4 x + 5$ . Depois, $d u = 4 d x$ , então, $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 4 x + 5$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $4 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $4$ e $0$ .

$4$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int (\frac{u}{4} - \frac{5}{4}) u^{3} \frac{1}{4} d u$

Etapa 2

Combine $\frac{1}{4}$ e $u^{3}$ .

$\int (\frac{u}{4} - \frac{5}{4}) \frac{u^{3}}{4} d u$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \frac{u}{4} \cdot \frac{u^{3}}{4} - \frac{5}{4} \cdot \frac{u^{3}}{4} d u$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{u}{4}$ por $\frac{u^{3}}{4}$ .

$\int \frac{u \cdot u^{3}}{4 \cdot 4} - \frac{5}{4} \cdot \frac{u^{3}}{4} d u$

Etapa 3.3

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{3}}{4 \cdot 4} - \frac{5}{4} \cdot \frac{u^{3}}{4} d u$

Etapa 3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{u^{1 + 3}}{4 \cdot 4} - \frac{5}{4} \cdot \frac{u^{3}}{4} d u$

Etapa 3.5

Some $1$ e $3$ .

$\int \frac{u^{4}}{4 \cdot 4} - \frac{5}{4} \cdot \frac{u^{3}}{4} d u$

Etapa 3.6

Multiplique $4$ por $4$ .

$\int \frac{u^{4}}{16} - \frac{5}{4} \cdot \frac{u^{3}}{4} d u$

Etapa 3.7

Combine $- \frac{5}{4}$ e $\frac{u^{3}}{4}$ .

$\int \frac{u^{4}}{16} - \frac{5 u^{3}}{4 \cdot 4} d u$

Etapa 3.8

Multiplique $4$ por $4$ .

$\int \frac{u^{4}}{16} - \frac{5 u^{3}}{16} d u$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{u^{4}}{16} d u + \int - \frac{5 u^{3}}{16} d u$

Etapa 5

Como $\frac{1}{16}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{16}$ para fora da integral.

$\frac{1}{16} \int u^{4} d u + \int - \frac{5 u^{3}}{16} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{4}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int - \frac{5 u^{3}}{16} d u$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{16} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - \int \frac{5 u^{3}}{16} d u$

Etapa 8

Como $\frac{5}{16}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{5}{16}$ para fora da integral.

$\frac{1}{16} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - (\frac{5}{16} \int u^{3} d u)$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{3}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - \frac{5}{16} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Simplifique.

$\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{5} u^{5} - \frac{5}{16} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

Etapa 10.2

Reescreva $\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{5} u^{5} - \frac{5}{16} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$ como $\frac{1}{80} u^{5} - \frac{5}{16} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$ .

$\frac{1}{80} u^{5} - \frac{5}{16} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

Etapa 10.3

Simplifique.

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Etapa 10.3.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{5}{16}$ .

$\frac{1}{80} u^{5} - \frac{5}{4 \cdot 16} u^{4} + C$

Etapa 10.3.2

Multiplique $4$ por $16$ .

$\frac{1}{80} u^{5} - \frac{5}{64} u^{4} + C$

Etapa 11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x + 5$ .

$\frac{1}{80} {(4 x + 5)}^{5} - \frac{5}{64} {(4 x + 5)}^{4} + C$