Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{4} \frac{5}{3 x + 1} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 3 x + 1$ . Depois, $d u = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 3 x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $3 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $3$ e $0$ .

$3$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 3 x + 1$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0 + 1$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Etapa 1.3.2

Some $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 3 x + 1$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 4 + 1$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Multiplique $3$ por $4$ .

$u_{upper} = 12 + 1$

Etapa 1.5.2

Some $12$ e $1$ .

$u_{upper} = 13$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 13$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{13} \frac{5}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique $\frac{5}{u}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\int_{1}^{13} \frac{5}{u \cdot 3} d u$

Etapa 2.2

Mova $3$ para a esquerda de $u$ .

$\int_{1}^{13} \frac{5}{3 u} d u$

Etapa 3

Como $\frac{5}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{5}{3}$ para fora da integral.

$\frac{5}{3} \int_{1}^{13} \frac{1}{u} d u$

Etapa 4

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{5}{3} \ln (| u |)]_{1}^{13}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Avalie $\ln (| u |)$ em $13$ e em $1$ .

$\frac{5}{3} ((\ln (| 13 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{5}{3} \ln (\frac{| 13 |}{| 1 |})$

Etapa 5.2.2

Combine $\frac{5}{3}$ e $\ln (\frac{| 13 |}{| 1 |})$ .

$\frac{5 \ln (\frac{| 13 |}{| 1 |})}{3}$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $13$ é $13$ .

$\frac{5 \ln (\frac{13}{| 1 |})}{3}$

Etapa 5.3.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{5 \ln (\frac{13}{1})}{3}$

Etapa 5.3.3

Divida $13$ por $1$ .

$\frac{5 \ln (13)}{3}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{5 \ln (13)}{3}$

Forma decimal:

$4.27491559 \dots$