Cálculo Exemplos

$\int x \sqrt[3]{x + 1} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x + 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int (u - 1) \sqrt[3]{u} d u$

Etapa 2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{u}$ como $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\int (u - 1) u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3

Expanda $(u - 1) u^{\frac{1}{3}}$ .

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 1 u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3.2

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int u^{1} u^{\frac{1}{3}} - 1 u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int u^{1 + \frac{1}{3}} - 1 u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int u^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} - 1 u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int u^{\frac{3 + 1}{3}} - 1 u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3.6

Some $3$ e $1$ .

$\int u^{\frac{4}{3}} - 1 u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int u^{\frac{4}{3}} d u + \int - 1 u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{4}{3}}$ com relação a $u$ é $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C + \int - 1 u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C - \int u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{3}}$ com relação a $u$ é $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C - (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

Etapa 8

Simplifique.

$\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} - \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$\frac{3}{7} {(x + 1)}^{\frac{7}{3}} - \frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} + C$