Cálculo Exemplos

$\int \frac{2 x^{2} - 7 x - 5}{2 x + 1} d x$

Etapa 1

Deixe $u_{1} = 2 x + 1$ . Depois, $d u_{1} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{1} = 2 x + 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{2 {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 7 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) - 5}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique $\frac{2 {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 7 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) - 5}{u_{1}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{2 {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 7 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) - 5}{u_{1} \cdot 2} d u_{1}$

Etapa 2.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{1}$ .

$\int \frac{2 {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 7 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) - 5}{2 u_{1}} d u_{1}$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{2 {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 7 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) - 5}{u_{1}} d u_{1}$

Etapa 4

Deixe $u_{2} = \frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ . Depois, $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , então, $2 d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u_{2} = \frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ com relação a $u_{1}$ é $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $\frac{u_{1}}{2}$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1.4.1

Como $- \frac{1}{2}$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $- \frac{1}{2}$ em relação a $u_{1}$ é $0$ .

$\frac{1}{2} + 0$

Etapa 4.1.4.2

Some $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{2 {u_{2}}^{2} - 7 u_{2} - 5}{2 u_{2} + 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{2 {u_{2}}^{2} - 7 u_{2} - 5}{2 u_{2} + 1} (1 \cdot 2) d u_{2}$

Etapa 5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{2 {u_{2}}^{2} - 7 u_{2} - 5}{2 u_{2} + 1} \cdot 2 d u_{2}$

Etapa 5.3

Combine $\frac{2 {u_{2}}^{2} - 7 u_{2} - 5}{2 u_{2} + 1}$ e $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{(2 {u_{2}}^{2} - 7 u_{2} - 5) \cdot 2}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

Etapa 5.4

Mova $2$ para a esquerda de $2 {u_{2}}^{2} - 7 u_{2} - 5$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{2 (2 {u_{2}}^{2} - 7 u_{2} - 5)}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

Etapa 6

Como $2$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $2$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (2 \int \frac{2 {u_{2}}^{2} - 7 u_{2} - 5}{2 u_{2} + 1} d u_{2})$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{2 {u_{2}}^{2} - 7 u_{2} - 5}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2} \int \frac{2 {u_{2}}^{2} - 7 u_{2} - 5}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

Etapa 7.2.2

Reescreva a expressão.

$1 \int \frac{2 {u_{2}}^{2} - 7 u_{2} - 5}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

Etapa 7.3

Multiplique $\int \frac{2 {u_{2}}^{2} - 7 u_{2} - 5}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$ por $1$ .

$\int \frac{2 {u_{2}}^{2} - 7 u_{2} - 5}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

Etapa 8

Divida $2 {u_{2}}^{2} - 7 u_{2} - 5$ por $2 u_{2} + 1$ .

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Etapa 8.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$2 u_{2}$

$1$

$2 {u_{2}}^{2}$

$7 u_{2}$

$5$

Etapa 8.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 {u_{2}}^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 u_{2}$ .

					$u_{2}$
	$2 u_{2}$	+	$1$		$2 {u_{2}}^{2}$	-	$7 u_{2}$	-	$5$

Etapa 8.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$u_{2}$
$2 u_{2}$	+	$1$		$2 {u_{2}}^{2}$	-	$7 u_{2}$	-	$5$
			+	$2 {u_{2}}^{2}$	+	$u_{2}$

Etapa 8.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 u^{2} + u$ .

				$u_{2}$
$2 u_{2}$	+	$1$		$2 {u_{2}}^{2}$	-	$7 u_{2}$	-	$5$
			-	$2 {u_{2}}^{2}$	-	$u_{2}$

Etapa 8.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$u_{2}$
$2 u_{2}$	+	$1$		$2 {u_{2}}^{2}$	-	$7 u_{2}$	-	$5$
			-	$2 {u_{2}}^{2}$	-	$u_{2}$
					-	$8 u_{2}$

Etapa 8.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$u_{2}$
$2 u_{2}$	+	$1$		$2 {u_{2}}^{2}$	-	$7 u_{2}$	-	$5$
			-	$2 {u_{2}}^{2}$	-	$u_{2}$
					-	$8 u_{2}$	-	$5$

Etapa 8.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 8 u_{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 u_{2}$ .

				$u_{2}$	-	$4$
$2 u_{2}$	+	$1$		$2 {u_{2}}^{2}$	-	$7 u_{2}$	-	$5$
			-	$2 {u_{2}}^{2}$	-	$u_{2}$
					-	$8 u_{2}$	-	$5$

Etapa 8.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$u_{2}$	-	$4$
$2 u_{2}$	+	$1$		$2 {u_{2}}^{2}$	-	$7 u_{2}$	-	$5$
			-	$2 {u_{2}}^{2}$	-	$u_{2}$
					-	$8 u_{2}$	-	$5$
					-	$8 u_{2}$	-	$4$

Etapa 8.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 8 u_{2} - 4$ .

				$u_{2}$	-	$4$
$2 u_{2}$	+	$1$		$2 {u_{2}}^{2}$	-	$7 u_{2}$	-	$5$
			-	$2 {u_{2}}^{2}$	-	$u_{2}$
					-	$8 u_{2}$	-	$5$
					+	$8 u_{2}$	+	$4$

Etapa 8.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$u_{2}$	-	$4$
$2 u_{2}$	+	$1$		$2 {u_{2}}^{2}$	-	$7 u_{2}$	-	$5$
			-	$2 {u_{2}}^{2}$	-	$u_{2}$
					-	$8 u_{2}$	-	$5$
					+	$8 u_{2}$	+	$4$
							-	$1$

Etapa 8.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int u_{2} - 4 - \frac{1}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

Etapa 9

Divida a integral única em várias integrais.

$\int u_{2} d u_{2} + \int - 4 d u_{2} + \int - \frac{1}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u_{2}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C + \int - 4 d u_{2} + \int - \frac{1}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

Etapa 11

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C - 4 u_{2} + C + \int - \frac{1}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

Etapa 12

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C - 4 u_{2} + C - \int \frac{1}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

Etapa 13

Deixe $u_{3} = 2 u_{2} + 1$ . Depois, $d u_{3} = 2 d u_{2}$ , então, $\frac{1}{2} d u_{3} = d u_{2}$ . Reescreva usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

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Etapa 13.1

Deixe $u_{3} = 2 u_{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Etapa 13.1.1

Diferencie $2 u_{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2} + 1]$

Etapa 13.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 u_{2} + 1$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Etapa 13.1.3

Avalie $\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}]$ .

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Etapa 13.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $u_{2}$ , a derivada de $2 u_{2}$ em relação a $u_{2}$ é $2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Etapa 13.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Etapa 13.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Etapa 13.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 13.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $u_{2}$ , a derivada de $1$ em relação a $u_{2}$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 13.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 13.2

Reescreva o problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C - 4 u_{2} + C - \int \frac{1}{u_{3}} \cdot \frac{1}{2} d u_{3}$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Multiplique $\frac{1}{u_{3}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C - 4 u_{2} + C - \int \frac{1}{u_{3} \cdot 2} d u_{3}$

Etapa 14.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{3}$ .

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C - 4 u_{2} + C - \int \frac{1}{2 u_{3}} d u_{3}$

Etapa 15

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{3}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C - 4 u_{2} + C - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

Etapa 16

A integral de $\frac{1}{u_{3}}$ com relação a $u_{3}$ é $\ln (| u_{3} |)$ .

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C - 4 u_{2} + C - \frac{1}{2} (\ln (| u_{3} |) + C)$

Etapa 17

Simplifique.

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} - 4 u_{2} - \frac{1}{2} \ln (| u_{3} |) + C$

Etapa 18

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 18.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} \ln (| u_{3} |) + C$

Etapa 18.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $2 u_{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} \ln (| 2 u_{2} + 1 |) + C$

Etapa 18.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x + 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} \ln (| 2 u_{2} + 1 |) + C$

Etapa 18.4

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} \ln (| 2 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |) + C$

Etapa 18.5

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x + 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |) + C$

Etapa 19

Simplifique.

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Etapa 19.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 4 \frac{2 x + 1 - 1}{2} - \frac{1}{2} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |) + C$

Etapa 19.2

Combine os termos opostos em $2 x + 1 - 1$ .

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Etapa 19.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 4 \frac{2 x + 0}{2} - \frac{1}{2} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |) + C$

Etapa 19.2.2

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 4 \frac{2 x}{2} - \frac{1}{2} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |) + C$

Etapa 19.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 19.3.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + 2 (- 2) \frac{2 x}{2} - \frac{1}{2} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |) + C$

Etapa 19.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + 2 \cdot - 2 \frac{2 x}{2} - \frac{1}{2} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |) + C$

Etapa 19.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 2 (2 x) - \frac{1}{2} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |) + C$

Etapa 19.4

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 4 x - \frac{1}{2} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |) + C$

Etapa 19.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 4 x - \frac{1}{2} \ln (| 2 \frac{2 x + 1 - 1}{2} + 1 |) + C$

Etapa 19.6

Combine os termos opostos em $2 x + 1 - 1$ .

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Etapa 19.6.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 4 x - \frac{1}{2} \ln (| 2 \frac{2 x + 0}{2} + 1 |) + C$

Etapa 19.6.2

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 4 x - \frac{1}{2} \ln (| 2 \frac{2 x}{2} + 1 |) + C$

Etapa 19.7

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 19.7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 4 x - \frac{1}{2} \ln (| 2 \frac{2 x}{2} + 1 |) + C$

Etapa 19.7.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 4 x - \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C$

Etapa 19.8

Combine $\ln (| 2 x + 1 |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 4 x - \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Etapa 20

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{2} (2 x + 1) - \frac{1}{2})}^{2} - 4 x - \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C$