Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{e^{8}} \frac{\ln^{2} (x^{2})}{x} d x$

Etapa 1

Deixe $u_{2} = \ln (x^{2})$ . Depois, $d u_{2} = \frac{2}{x} d x$ , então, $- d u_{2} = \frac{- 2}{x} d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{2} = \ln (x^{2})$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\ln (x^{2})$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 1.1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} (2 x)$

Etapa 1.1.3.2

Simplifique os termos.

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Etapa 1.1.3.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2}{x^{2}} x$

Etapa 1.1.3.2.2

Combine $\frac{2}{x^{2}}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.3

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

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Etapa 1.1.3.2.3.1

Fatore $x$ de $2 x$ .

$\frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.1.3.2.3.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Etapa 1.1.3.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Etapa 1.1.3.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{x}$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{2} = \ln (x^{2})$ .

$u_{lower} = \ln (1^{2})$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{lower} = \ln (1)$

Etapa 1.3.2

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{2} = \ln (x^{2})$ .

$u_{upper} = \ln ({(e^{8})}^{2})$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{8})}^{2}$ .

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Etapa 1.5.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = \ln (e^{8 \cdot 2})$

Etapa 1.5.1.2

Multiplique $8$ por $2$ .

$u_{upper} = \ln (e^{16})$

Etapa 1.5.2

Use as regras logarítmicas para mover $16$ para fora do expoente.

$u_{upper} = 16 \ln (e)$

Etapa 1.5.3

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$u_{upper} = 16 \cdot 1$

Etapa 1.5.4

Multiplique $16$ por $1$ .

$u_{upper} = 16$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 16$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{16} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Etapa 2

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{16} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{2}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{0}^{16}$

Etapa 4

Combine frações.

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Etapa 4.1

Avalie $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ em $16$ e em $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 16^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Etapa 4.2

Eleve $16$ à potência de $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4096 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Etapa 4.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $4096$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4096}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Etapa 4.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.4.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4096}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0)$

Etapa 4.4.2

Simplifique.

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Etapa 4.4.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4096}{3} + 0 (\frac{1}{3}))$

Etapa 4.4.2.2

Multiplique $0$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4096}{3} + 0)$

Etapa 4.4.3

Some $\frac{4096}{3}$ e $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4096}{3}$

Etapa 4.4.4

Simplifique.

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Etapa 4.4.4.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{4096}{3}$ .

$\frac{4096}{2 \cdot 3}$

Etapa 4.4.4.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{4096}{6}$

Etapa 4.4.4.3

Cancele o fator comum de $4096$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.4.3.1

Fatore $2$ de $4096$ .

$\frac{2 (2048)}{6}$

Etapa 4.4.4.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.4.3.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 2048}{2 \cdot 3}$

Etapa 4.4.4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 2048}{2 \cdot 3}$

Etapa 4.4.4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2048}{3}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2048}{3}$

Forma decimal:

$682.\overline{6}$

Forma de número misto:

$682 \frac{2}{3}$