Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{3} \frac{e^{\frac{3}{x}}}{x^{2}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = \frac{3}{x}$ . Depois, $d u = - \frac{3}{x^{2}} d x$ , então, $1 d u = - \frac{3}{x^{2}} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = \frac{3}{x}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\frac{3}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Etapa 1.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3}{x}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 1.1.3

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$3 (- x^{- 2})$

Etapa 1.1.5

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 x^{- 2}$

Etapa 1.1.6

Simplifique.

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Etapa 1.1.6.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.1.6.2

Combine os termos.

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Etapa 1.1.6.2.1

Combine $- 3$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 3}{x^{2}}$

Etapa 1.1.6.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{x^{2}}$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = \frac{3}{x}$ .

$u_{lower} = \frac{3}{1}$

Etapa 1.3

Divida $3$ por $1$ .

$u_{lower} = 3$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = \frac{3}{x}$ .

$u_{upper} = \frac{3}{3}$

Etapa 1.5

Divida $3$ por $3$ .

$u_{upper} = 1$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 1$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{3}^{1} - \frac{1}{3} e^{u} d u$

Etapa 2

Como $- \frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $- \frac{1}{3}$ para fora da integral.

$- \frac{1}{3} \int_{3}^{1} e^{u} d u$

Etapa 3

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$- \frac{1}{3} e^{u}]_{3}^{1}$

Etapa 4

Avalie $e^{u}$ em $1$ e em $3$ .

$- \frac{1}{3} ((e^{1}) - e^{3})$

Etapa 5

Simplifique.

$- \frac{1}{3} (e - e^{3})$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{1}{3} \cdot (e - e^{3})$

Forma decimal:

$5.78908503 \dots$