Cálculo Exemplos

$\int \frac{6 \cos (t)}{{(2 + \sin (t))}^{2}} d t$

Etapa 1

Deixe $u = 2 + \sin (t)$ . Depois, $d u = \cos (t) d t$ , então, $\frac{1}{\cos (t)} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 2 + \sin (t)$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $2 + \sin (t)$ .

$\frac{d}{d t} [2 + \sin (t)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 + \sin (t)$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [\sin (t)]$ .

$\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [\sin (t)]$

Etapa 1.1.2.2

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2$ em relação a $t$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\sin (t)]$

Etapa 1.1.3

A derivada de $\sin (t)$ em relação a $t$ é $\cos (t)$ .

$0 + \cos (t)$

Etapa 1.1.4

Some $0$ e $\cos (t)$ .

$\cos (t)$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{6}{u^{2}} d u$

Etapa 2

Como $6$ é constante com relação a $u$ , mova $6$ para fora da integral.

$6 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Etapa 3

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 3.1

Mova $u^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$6 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Etapa 3.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Etapa 3.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$6 \int u^{- 2} d u$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 2}$ com relação a $u$ é $- u^{- 1}$ .

$6 (- u^{- 1} + C)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva $6 (- u^{- 1} + C)$ como $6 (- \frac{1}{u}) + C$ .

$6 (- \frac{1}{u}) + C$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$- 6 \frac{1}{u} + C$

Etapa 5.2.2

Combine $- 6$ e $\frac{1}{u}$ .

$\frac{- 6}{u} + C$

Etapa 5.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{6}{u} + C$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 + \sin (t)$ .

$- \frac{6}{2 + \sin (t)} + C$