Cálculo Exemplos

$\int \frac{x + 1}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 1

Não foi possível concluir esta integral usando a substituição u. O Mathway usará outro método.

Etapa 2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x + 1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 3

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int (x + 1) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Etapa 4

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x + 1) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Etapa 4.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int (x + 1) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Etapa 4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int (x + 1) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 5

Expanda $(x + 1) x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 5.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int x^{1} x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int x^{1 - \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 5.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 5.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int x^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 5.6

Subtraia $1$ de $2$ .

$\int x^{\frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 5.7

Multiplique $x^{- \frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\int x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$\int x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 9

Simplifique.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$