Cálculo Exemplos

$\int \frac{2 x^{2} + 7 x - 3}{x - 2} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x - 2$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x - 2$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 1.1.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{2 {(u + 2)}^{2} + 7 (u + 2) - 3}{u} d u$

Etapa 2

Divida a fração em diversas frações.

$\int \frac{2 {(u + 2)}^{2}}{u} + \frac{7 (u + 2)}{u} + \frac{- 3}{u} d u$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{2 {(u + 2)}^{2}}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int \frac{- 3}{u} d u$

Etapa 4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{2 {(u + 2)}^{2}}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Etapa 5

Como $2$ é constante com relação a $u$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \frac{{(u + 2)}^{2}}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Etapa 6

Simplifique multiplicando.

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Etapa 6.1

Reescreva ${(u + 2)}^{2}$ como $(u + 2) (u + 2)$ .

$2 \int \frac{(u + 2) (u + 2)}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \int \frac{u (u + 2) + 2 (u + 2)}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Etapa 6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \int \frac{u \cdot u + u \cdot 2 + 2 (u + 2)}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Etapa 6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \int \frac{u \cdot u + u \cdot 2 + 2 u + 2 \cdot 2}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Etapa 6.5

Reordene $u$ e $2$ .

$2 \int \frac{u \cdot u + 2 \cdot u + 2 u + 2 \cdot 2}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Etapa 7

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$2 \int \frac{u^{1} u + 2 u + 2 u + 2 \cdot 2}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Etapa 8

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$2 \int \frac{u^{1} u^{1} + 2 u + 2 u + 2 \cdot 2}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Etapa 9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \int \frac{u^{1 + 1} + 2 u + 2 u + 2 \cdot 2}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Etapa 10

Simplifique a expressão.

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Etapa 10.1

Some $1$ e $1$ .

$2 \int \frac{u^{2} + 2 u + 2 u + 2 \cdot 2}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Etapa 10.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 \int \frac{u^{2} + 2 u + 2 u + 4}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Etapa 11

Some $2 u$ e $2 u$ .

$2 \int \frac{u^{2} + 4 u + 4}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Etapa 12

Divida $u^{2} + 4 u + 4$ por $u$ .

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Etapa 12.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$u$

$0$

$u^{2}$

$4 u$

$4$

Etapa 12.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $u^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $u$ .

					$u$
	$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$

Etapa 12.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			+	$u^{2}$	+	$0$

Etapa 12.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $u^{2} + 0$ .

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$

Etapa 12.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$4 u$

Etapa 12.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$4 u$	+	$4$

Etapa 12.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $4 u$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $u$ .

				$u$	+	$4$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$4 u$	+	$4$

Etapa 12.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$u$	+	$4$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$4 u$	+	$4$
					+	$4 u$	+	$0$

Etapa 12.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $4 u + 0$ .

				$u$	+	$4$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$4 u$	+	$4$
					-	$4 u$	-	$0$

Etapa 12.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$u$	+	$4$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$4 u$	+	$4$
					-	$4 u$	-	$0$
							+	$4$

Etapa 12.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$2 \int u + 4 + \frac{4}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Etapa 13

Divida a integral única em várias integrais.

$2 (\int u d u + \int 4 d u + \int \frac{4}{u} d u) + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Etapa 14

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u$ com relação a $u$ é $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{2} + C + \int 4 d u + \int \frac{4}{u} d u) + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Etapa 15

Aplique a regra da constante.

$2 (\frac{1}{2} u^{2} + C + 4 u + C + \int \frac{4}{u} d u) + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Etapa 16

Combine $\frac{1}{2}$ e $u^{2}$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + \int \frac{4}{u} d u) + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Etapa 17

Como $4$ é constante com relação a $u$ , mova $4$ para fora da integral.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Etapa 18

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Etapa 19

Como $7$ é constante com relação a $u$ , mova $7$ para fora da integral.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 \int \frac{u + 2}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Etapa 20

Divida $u + 2$ por $u$ .

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Etapa 20.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$u$

$0$

$u$

$2$

Etapa 20.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $u$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $u$ .

					$1$
	$u$	+	$0$		$u$	+	$2$

Etapa 20.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	+	$2$
			+	$u$	+	$0$

Etapa 20.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $u + 0$ .

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	+	$2$
			-	$u$	-	$0$

Etapa 20.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	+	$2$
			-	$u$	-	$0$
					+	$2$

Etapa 20.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 \int 1 + \frac{2}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Etapa 21

Divida a integral única em várias integrais.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (\int d u + \int \frac{2}{u} d u) + \int - \frac{3}{u} d u$

Etapa 22

Aplique a regra da constante.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + \int \frac{2}{u} d u) + \int - \frac{3}{u} d u$

Etapa 23

Como $2$ é constante com relação a $u$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + 2 \int \frac{1}{u} d u) + \int - \frac{3}{u} d u$

Etapa 24

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + 2 (\ln (| u |) + C)) + \int - \frac{3}{u} d u$

Etapa 25

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + 2 (\ln (| u |) + C)) - \int \frac{3}{u} d u$

Etapa 26

Como $3$ é constante com relação a $u$ , mova $3$ para fora da integral.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + 2 (\ln (| u |) + C)) - (3 \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 27

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + 2 (\ln (| u |) + C)) - 3 \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 28

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + 2 (\ln (| u |) + C)) - 3 (\ln (| u |) + C)$

Etapa 29

Simplifique.

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Etapa 29.1

Simplifique.

$u^{2} + 8 u + 8 \ln (| u |) + 7 u + 14 \ln (| u |) - 3 \ln (| u |) + C$

Etapa 29.2

Simplifique.

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Etapa 29.2.1

Some $8 u$ e $7 u$ .

$u^{2} + 15 u + 8 \ln (| u |) + 14 \ln (| u |) - 3 \ln (| u |) + C$

Etapa 29.2.2

Some $8 \ln (| u |)$ e $14 \ln (| u |)$ .

$u^{2} + 15 u + 22 \ln (| u |) - 3 \ln (| u |) + C$

Etapa 29.2.3

Subtraia $3 \ln (| u |)$ de $22 \ln (| u |)$ .

$u^{2} + 15 u + 19 \ln (| u |) + C$

Etapa 30

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 2$ .

${(x - 2)}^{2} + 15 (x - 2) + 19 \ln (| x - 2 |) + C$