Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{x^{3}} \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}} d x$

Etapa 1

Combine $\frac{1}{x^{3}}$ e $\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}$ .

$\int \frac{\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}} d x$

Etapa 2

Deixe $u_{2} = 1 - \frac{1}{x^{2}}$ . Depois, $d u_{2} = \frac{2}{x^{3}} d x$ , então, $- d u_{2} = \frac{- 2}{x^{3}} d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u_{2} = 1 - \frac{1}{x^{2}}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $1 - \frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - \frac{1}{x^{2}}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \frac{1}{x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Etapa 2.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$0 - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 2.1.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$0 - (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2}$ .

$0 - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Etapa 2.1.3.6

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.1.3.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Etapa 2.1.3.6.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$0 - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Etapa 2.1.3.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$0 - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Etapa 2.1.3.8

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$0 - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Etapa 2.1.3.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$0 - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Etapa 2.1.3.10

Subtraia $4$ de $1$ .

$0 - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Etapa 2.1.3.11

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$0 + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Etapa 2.1.3.12

Multiplique $\frac{1}{x^{2}}$ por $0$ .

$0 + 2 x^{- 3} + 0$

Etapa 2.1.3.13

Some $2 x^{- 3}$ e $0$ .

$0 + 2 x^{- 3}$

Etapa 2.1.4

Simplifique.

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Etapa 2.1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 2 \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 2.1.4.2

Combine os termos.

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Etapa 2.1.4.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$0 + \frac{2}{x^{3}}$

Etapa 2.1.4.2.2

Some $0$ e $\frac{2}{x^{3}}$ .

$\frac{2}{x^{3}}$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{2} \sqrt{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{2}}$ como ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Reescreva $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C)$ como $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 6.2

Reescreva $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$ como $\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $1 - \frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{3} {(1 - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{3}{2}} + C$