Cálculo Exemplos

$\int_{\frac{1}{6}}^{\frac{1}{2}} \csc (π A) \cot (π A) d A$

Etapa 1

Deixe $u_{2} = \csc (π A)$ . Depois, $d u_{2} = - π \cot (π A) \csc (π A) d A$ , então, $- \frac{1}{π} d u_{2} = \cot (π A) \csc (π A) d A$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{2} = \csc (π A)$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d A}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\csc (π A)$ .

$\frac{d}{d A} [\csc (π A)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d A} [f (g (A))]$ é $f' (g (A)) g' (A)$ , em que $f (A) = \csc (A)$ e $g (A) = π A$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $π A$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d A} [π A]$

Etapa 1.1.2.2

A derivada de $\csc (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d A} [π A]$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $π A$ .

$- \csc (π A) \cot (π A) \frac{d}{d A} [π A]$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.3.1

Como $π$ é constante em relação a $A$ , a derivada de $π A$ em relação a $A$ é $π \frac{d}{d A} [A]$ .

$- \csc (π A) \cot (π A) (π \frac{d}{d A} [A])$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d A} [A^{n}]$ é $n A^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \csc (π A) \cot (π A) (π \cdot 1)$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.3.3.1

Multiplique $π$ por $1$ .

$- \csc (π A) \cot (π A) π$

Etapa 1.1.3.3.2

Reordene os fatores de $- \csc (π A) \cot (π A) π$ .

$- π \cot (π A) \csc (π A)$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $A$ em $u_{2} = \csc (π A)$ .

$u_{lower} = \csc (π \frac{1}{6})$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Combine $π$ e $\frac{1}{6}$ .

$u_{lower} = \csc (\frac{π}{6})$

Etapa 1.3.2

O valor exato de $\csc (\frac{π}{6})$ é $2$ .

$u_{lower} = 2$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $A$ em $u_{2} = \csc (π A)$ .

$u_{upper} = \csc (π \frac{1}{2})$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Combine $π$ e $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \csc (\frac{π}{2})$

Etapa 1.5.2

O valor exato de $\csc (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$u_{upper} = 1$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 1$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$\int_{2}^{1} - \frac{- 1}{- π} d u_{2}$

Etapa 2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\int_{2}^{1} - \frac{1}{π} d u_{2}$

Etapa 3

Aplique a regra da constante.

$- \frac{1}{π} u_{2}]_{2}^{1}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Avalie $- \frac{1}{π} u_{2}$ em $1$ e em $2$ .

$(- \frac{1}{π} \cdot 1) + \frac{1}{π} \cdot 2$

Etapa 4.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{π} + \frac{1}{π} \cdot 2$

Etapa 4.3

Combine $\frac{1}{π}$ e $2$ .

$- \frac{1}{π} + \frac{2}{π}$

Etapa 4.4

Simplifique.

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Etapa 4.4.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 1 + 2}{π}$

Etapa 4.4.2

Some $- 1$ e $2$ .

$\frac{1}{π}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{π}$

Forma decimal:

$0.31830988 \dots$