Cálculo Exemplos

$\int 24 x {(6 x^{2} + 7)}^{7} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 6 x^{2} + 7$ . Depois, $d u = 12 x d x$ , então, $\frac{1}{12 x} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 6 x^{2} + 7$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $6 x^{2} + 7$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} + 7]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x^{2} + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{2}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$12 x + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $12 x$ e $0$ .

$12 x$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int 2 u^{7} d u$

Etapa 2

Como $2$ é constante com relação a $u$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int u^{7} d u$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{7}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$2 (\frac{1}{8} u^{8} + C)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reescreva $2 (\frac{1}{8} u^{8} + C)$ como $2 (\frac{1}{8}) u^{8} + C$ .

$2 (\frac{1}{8}) u^{8} + C$

Etapa 4.2

Reescreva $2 (\frac{1}{8}) u^{8} + C$ como $\frac{1}{4} u^{8} + C$ .

$\frac{1}{4} u^{8} + C$

Etapa 5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $6 x^{2} + 7$ .

$\frac{1}{4} {(6 x^{2} + 7)}^{8} + C$