Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{x^{2}} \sqrt{1 + \frac{1}{x}} d x$

Etapa 1

Combine $\frac{1}{x^{2}}$ e $\sqrt{1 + \frac{1}{x}}$ .

$\int \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

Etapa 2

Deixe $u = 1 + \frac{1}{x}$ . Depois, $d u = - \frac{1}{x^{2}} d x$ , então, $- d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 1 + \frac{1}{x}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $1 + \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \frac{1}{x}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 2.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$0 - x^{- 2}$

Etapa 2.1.4

Simplifique.

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Etapa 2.1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 2.1.4.2

Subtraia $\frac{1}{x^{2}}$ de $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int - \sqrt{u} d u$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \sqrt{u} d u$

Etapa 4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Etapa 6

Reescreva $- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ como $- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + \frac{1}{x}$ .

$- \frac{2}{3} {(1 + \frac{1}{x})}^{\frac{3}{2}} + C$