Cálculo Exemplos

$\int 6 x {(3 x^{2} + 5)}^{3} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 3 x^{2} + 5$ . Depois, $d u = 6 x d x$ , então, $\frac{1}{6 x} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 3 x^{2} + 5$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $3 x^{2} + 5$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 x + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $6 x$ e $0$ .

$6 x$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u^{3} d u$

Etapa 2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{3}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C$

Etapa 3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x^{2} + 5$ .

$\frac{1}{4} {(3 x^{2} + 5)}^{4} + C$