Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) \sin (\sin (x)) d x$

Etapa 1

Deixe $u = \sin (x)$ . Depois, $d u = \cos (x) d x$ , então, $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = \sin (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Etapa 1.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 1.5

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$u_{upper} = 1$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{1} \sin (u) d u$

Etapa 2

A integral de $\sin (u)$ com relação a $u$ é $- \cos (u)$ .

$- \cos (u)]_{0}^{1}$

Etapa 3

Avalie $- \cos (u)$ em $1$ e em $0$ .

$(- \cos (1)) + \cos (0)$

Etapa 4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- \cos (1) + 1$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Avalie $\cos (1)$ .

$- 1 \cdot 0.5403023 + 1$

Etapa 5.2

Multiplique $- 1$ por $0.5403023$ .

$- 0.5403023 + 1$

Etapa 5.3

Some $- 0.5403023$ e $1$ .

$0.45969769$