Cálculo Exemplos

$\int x \sin^{2} (x^{2}) d x$

Etapa 1

Deixe $u_{1} = x^{2}$ . Depois, $d u_{1} = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe $u_{1} = x^{2}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2

Combine $\sin^{2} (u_{1})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sin^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 4

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\sin^{2} (u_{1})$ como $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Etapa 5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Etapa 6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{4} (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Etapa 8

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{4} (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Etapa 9

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Etapa 10

Deixe $u_{2} = 2 u_{1}$ . Depois, $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Deixe $u_{2} = 2 u_{1}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Diferencie $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Etapa 10.1.2

Como $2$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $2 u_{1}$ em relação a $u_{1}$ é $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Etapa 10.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 10.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 10.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Etapa 11

Combine $\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Etapa 12

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Etapa 13

A integral de $\cos (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Etapa 14

Simplifique.

$\frac{1}{4} (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Etapa 15

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} (x^{2} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Etapa 15.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{4} (x^{2} - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Etapa 15.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} (x^{2} - \frac{1}{2} \sin (2 x^{2})) + C$

Etapa 16

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Combine $\sin (2 x^{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (x^{2} - \frac{\sin (2 x^{2})}{2}) + C$

Etapa 16.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (2 x^{2})}{2}) + C$

Etapa 16.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (2 x^{2})}{2}) + C$

Etapa 16.4

Multiplique $\frac{1}{4} (- \frac{\sin (2 x^{2})}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.4.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{\sin (2 x^{2})}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{\sin (2 x^{2})}{4 \cdot 2} + C$

Etapa 16.4.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{\sin (2 x^{2})}{8} + C$

Etapa 17

Reordene os termos.

$\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{8} \sin (2 x^{2}) + C$