Cálculo Exemplos

$\int_{2}^{4} \frac{1}{5 - 3 x} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 5 - 3 x$ . Depois, $d u = - 3 d x$ , então, $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 5 - 3 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $5 - 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 - 3 x]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 - 3 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Etapa 1.1.2.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 3 \cdot 1$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$0 - 3$

Etapa 1.1.4

Subtraia $3$ de $0$ .

$- 3$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 5 - 3 x$ .

$u_{lower} = 5 - 3 \cdot 2$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$u_{lower} = 5 - 6$

Etapa 1.3.2

Subtraia $6$ de $5$ .

$u_{lower} = - 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 5 - 3 x$ .

$u_{upper} = 5 - 3 \cdot 4$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$u_{upper} = 5 - 12$

Etapa 1.5.2

Subtraia $12$ de $5$ .

$u_{upper} = - 7$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - 7$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{- 1}^{- 7} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 3} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int_{- 1}^{- 7} \frac{1}{u} (- \frac{1}{3}) d u$

Etapa 2.2

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\int_{- 1}^{- 7} - \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Etapa 2.3

Mova $3$ para a esquerda de $u$ .

$\int_{- 1}^{- 7} - \frac{1}{3 u} d u$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{- 1}^{- 7} \frac{1}{3 u} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{3} \int_{- 1}^{- 7} \frac{1}{u} d u)$

Etapa 5

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| u |)]_{- 1}^{- 7}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Avalie $\ln (| u |)$ em $- 7$ e em $- 1$ .

$- \frac{1}{3} ((\ln (| - 7 |)) - \ln (| - 1 |))$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{1}{3} \ln (\frac{| - 7 |}{| - 1 |})$

Etapa 6.2.2

Combine $\ln (\frac{| - 7 |}{| - 1 |})$ e $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{\ln (\frac{| - 7 |}{| - 1 |})}{3}$

Etapa 6.3

Simplifique.

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Etapa 6.3.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $- 7$ e $0$ é $7$ .

$- \frac{\ln (\frac{7}{| - 1 |})}{3}$

Etapa 6.3.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $- 1$ e $0$ é $1$ .

$- \frac{\ln (\frac{7}{1})}{3}$

Etapa 6.3.3

Divida $7$ por $1$ .

$- \frac{\ln (7)}{3}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{\ln (7)}{3}$

Forma decimal:

$- 0.64863671 \dots$