Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} 2 x {(x^{2} + 1)}^{2} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x^{2} + 1$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2 x} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x^{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 1.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Etapa 1.3.2

Some $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{upper} = 1 + 1$

Etapa 1.5.2

Some $1$ e $1$ .

$u_{upper} = 2$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{2} u^{2} d u$

Etapa 2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{2}$

Etapa 3

Combine frações.

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Etapa 3.1

Avalie $\frac{1}{3} u^{3}$ em $2$ e em $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Etapa 3.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Etapa 3.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $8$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Etapa 3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.4.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1$

Etapa 3.4.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3}$

Etapa 3.4.3

Simplifique.

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Etapa 3.4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{8 - 1}{3}$

Etapa 3.4.3.2

Subtraia $1$ de $8$ .

$\frac{7}{3}$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{7}{3}$

Forma decimal:

$2.\overline{3}$

Forma de número misto:

$2 \frac{1}{3}$