Cálculo Exemplos

$\int \frac{3^{2 x}}{1 + 3^{2 x}} d x$

Etapa 1

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Depois, $d u_{1} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{3^{u_{1}}}{1 + 3^{u_{1}}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique $\frac{3^{u_{1}}}{1 + 3^{u_{1}}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{3^{u_{1}}}{(1 + 3^{u_{1}}) \cdot 2} d u_{1}$

Etapa 2.2

Mova $2$ para a esquerda de $1 + 3^{u_{1}}$ .

$\int \frac{3^{u_{1}}}{2 (1 + 3^{u_{1}})} d u_{1}$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{3^{u_{1}}}{1 + 3^{u_{1}}} d u_{1}$

Etapa 4

Deixe $u_{2} = 1 + 3^{u_{1}}$ . Depois, $d u_{2} = 3^{u_{1}} \ln (3) d u_{1}$ , então, $\frac{1}{\ln (3)} d u_{2} = 3^{u_{1}} d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u_{2} = 1 + 3^{u_{1}}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $1 + 3^{u_{1}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + 3^{u_{1}}]$

Etapa 4.1.2

Diferencie.

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Etapa 4.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + 3^{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [3^{u_{1}}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [3^{u_{1}}]$

Etapa 4.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $1$ em relação a $u_{1}$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [3^{u_{1}}]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $3$ .

$0 + 3^{u_{1}} \ln (3)$

Etapa 4.1.4

Some $0$ e $3^{u_{1}} \ln (3)$ .

$3^{u_{1}} \ln (3)$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{\ln (3)} d u_{2}$

Etapa 5

Multiplique $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{\ln (3)}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2} \ln (3)} d u_{2}$

Etapa 6

Como $\frac{1}{\ln (3)}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{\ln (3)}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{\ln (3)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Multiplique $\frac{1}{\ln (3)}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\ln (3) \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 7.2

Mova $2$ para a esquerda de $\ln (3)$ .

$\frac{1}{2 \ln (3)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 8

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2 \ln (3)} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Etapa 9

Simplifique.

$\frac{1}{2 \ln (3)} \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 10

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 10.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $1 + 3^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{2 \ln (3)} \ln (| 1 + 3^{u_{1}} |) + C$

Etapa 10.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$\frac{1}{2 \ln (3)} \ln (| 1 + 3^{2 x} |) + C$