Cálculo Exemplos

$\int \sqrt{x^{5} - 8} \cdot 5 x^{4} d x$

Etapa 1

Mova $5$ para a esquerda de $\sqrt{x^{5} - 8}$ .

$\int 5 \sqrt{x^{5} - 8} x^{4} d x$

Etapa 2

Deixe $u = x^{5} - 8$ . Depois, $d u = 5 x^{4} d x$ , então, $\frac{1}{5 x^{4}} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = x^{5} - 8$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $x^{5} - 8$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{5} - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 2.1.4

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 x^{4} + 0$

Etapa 2.1.5

Some $5 x^{4}$ e $0$ .

$5 x^{4}$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \sqrt{u} d u$

Etapa 3

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{5} - 8$ .

$\frac{2}{3} {(x^{5} - 8)}^{\frac{3}{2}} + C$