Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

Etapa 1

Não foi possível concluir esta integral usando a substituição u. O Mathway usará outro método.

Etapa 2

Deixe $x = \tan (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ é positivo.

$\int \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Simplifique $\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Reorganize os termos.

$\int \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 3.1.2

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 3.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \frac{1}{\sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $\sec (t)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Fatore $\sec (t)$ de $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{1}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

Etapa 3.2.3

Reescreva a expressão.

$\int \sec (t) d t$

Etapa 4

A integral de $\sec (t)$ com relação a $t$ é $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

Etapa 5

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arctan (x)$ .

$\ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$