Cálculo Exemplos

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} \csc (x) d x$

Etapa 1

Não foi possível concluir esta integral usando a substituição u. O Mathway usará outro método.

Etapa 2

A integral de $\csc (x)$ com relação a $x$ é $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ .

$\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}}$

Etapa 3

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1

Avalie $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ em $\frac{3 π}{4}$ e em $\frac{π}{4}$ .

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |)$

Etapa 3.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.1

O valor exato de $\csc (\frac{π}{4})$ é $\sqrt{2}$ .

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \sqrt{2} - \cot (\frac{π}{4}) |)$

Etapa 3.2.2

O valor exato de $\cot (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 |)$

Etapa 3.2.4

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a cotangente é negativa no segundo quadrante.

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - - \cot (\frac{π}{4}) |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Etapa 3.3.2

O valor exato de $\cot (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - (- 1 \cdot 1) |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Etapa 3.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - - 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Etapa 3.3.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) + 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Etapa 3.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.5.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\ln (\frac{| \csc (\frac{π}{4}) + 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Etapa 3.3.5.2

O valor exato de $\csc (\frac{π}{4})$ é $\sqrt{2}$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{2} + 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Etapa 3.3.5.3

$\sqrt{2} + 1$ é aproximadamente $2.41421356$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Etapa 3.3.6

$\sqrt{2} - 1$ é aproximadamente $0.41421356$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1})$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$ por $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1})$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$ por $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1}$ .

$\ln (\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)})$

Etapa 4.3

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$\ln (\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)}{{\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{2} - \sqrt{2} - 1})$

Etapa 4.4

Simplifique.

$\ln (\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)}{1})$

Etapa 4.5

Divida $(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)$ por $1$ .

$\ln ((\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1))$

Etapa 4.6

Reescreva $\ln ((\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1))$ como $\ln (\sqrt{2} + 1) + \ln (\sqrt{2} + 1)$ .

$\ln (\sqrt{2} + 1) + \ln (\sqrt{2} + 1)$

Etapa 4.7

Some $\ln (\sqrt{2} + 1)$ e $\ln (\sqrt{2} + 1)$ .

$2 \ln (\sqrt{2} + 1)$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$2 \ln (\sqrt{2} + 1)$

Forma decimal:

$1.76274717 \dots$