Cálculo Exemplos

$\int \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x^{2} + 4$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x^{2} + 4$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.1.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 1.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{{\sqrt{u - 4}}^{2}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Reescreva ${\sqrt{u - 4}}^{2}$ como $u - 4$ .

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Etapa 2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u - 4}$ como ${(u - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{({(u - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{{(u - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int \frac{{(u - 4)}^{\frac{2}{2}}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{{(u - 4)}^{\frac{2}{2}}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\int \frac{{(u - 4)}^{1}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.1.5

Simplifique.

$\int \frac{u - 4}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.2

Multiplique $\frac{u - 4}{u^{\frac{3}{2}}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u - 4}{u^{\frac{3}{2}} \cdot 2} d u$

Etapa 2.3

Mova $2$ para a esquerda de $u^{\frac{3}{2}}$ .

$\int \frac{u - 4}{2 u^{\frac{3}{2}}} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{u - 4}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Etapa 4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1

Mova $u^{\frac{3}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{2} \int (u - 4) {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 4.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int (u - 4) u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 4.2.2

Multiplique $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Etapa 4.2.2.1

Combine $\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (u - 4) u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Etapa 4.2.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (u - 4) u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Etapa 4.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} \int (u - 4) u^{- \frac{3}{2}} d u$

Etapa 5

Expanda $(u - 4) u^{- \frac{3}{2}}$ .

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} \int u \cdot u^{- \frac{3}{2}} - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Etapa 5.2

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{1} u^{- \frac{3}{2}} - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Etapa 5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2} \int u^{1 - \frac{3}{2}} - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Etapa 5.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Etapa 5.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{2 - 3}{2}} - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Etapa 5.6

Subtraia $3$ de $2$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Etapa 6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} (\int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u)$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C + \int - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u)$

Etapa 9

Como $- 4$ é constante com relação a $u$ , mova $- 4$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C - 4 \int u^{- \frac{3}{2}} d u)$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{3}{2}}$ com relação a $u$ é $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C - 4 (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C))$

Etapa 11

Simplifique.

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + \frac{8}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$

Etapa 12

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 4$ .

$\frac{1}{2} (2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{8}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Para escrever $2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{8}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Etapa 13.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 8}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.3.1

Fatore $2$ de $2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 8$ .

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Etapa 13.3.1.1

Fatore $2$ de $2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 8}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.3.1.2

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 \cdot 4}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.3.1.3

Fatore $2$ de $2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 \cdot 4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.3.2

Multiplique ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 13.3.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.3.2.3

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.3.2.4

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 ({(x^{2} + 4)}^{1} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.3.3

Simplifique ${(x^{2} + 4)}^{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (x^{2} + 4 + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.3.4

Some $4$ e $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (x^{2} + 8)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.4

Combine.

$\frac{1 (2 (x^{2} + 8))}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.5

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (2 (x^{2} + 8))}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.6

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (x^{2} + 8)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.7

Multiplique $x^{2} + 8$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 8}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$