Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \frac{\sin (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 1.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 1.3

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Etapa 1.4

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Etapa 1.4.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Etapa 1.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 2

Deixe $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Depois, $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , então, $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Etapa 2.1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Etapa 2.1.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 2.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 2.1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Etapa 2.1.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Etapa 2.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 2.1.8

Simplifique.

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Etapa 2.1.8.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.8.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = 0^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$u_{lower} = {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{lower} = 0^{2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 2.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.3.1

Cancele o fator comum.

$u_{lower} = 0^{2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 2.3.3.2

Reescreva a expressão.

$u_{lower} = 0^{1}$

Etapa 2.3.4

Avalie o expoente.

$u_{lower} = 0$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = {(\frac{π^{2}}{4})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Aplique a regra do produto a $\frac{π^{2}}{4}$ .

$u_{upper} = \frac{{(π^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.5.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.2.1

Multiplique os expoentes em ${(π^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.5.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = \frac{π^{2 (\frac{1}{2})}}{4^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.5.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.5.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = \frac{π^{2 (\frac{1}{2})}}{4^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.5.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = \frac{π^{1}}{4^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.5.2.2

Simplifique.

$u_{upper} = \frac{π}{4^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.5.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.5.3.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.5.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 2.5.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.5.3.3.1

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = \frac{π}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 2.5.3.3.2

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = \frac{π}{2^{1}}$

Etapa 2.5.3.4

Avalie o expoente.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 2 \sin (u) d u$

Etapa 3

Como $2$ é constante com relação a $u$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Etapa 4

A integral de $\sin (u)$ com relação a $u$ é $- \cos (u)$ .

$2 (- \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Etapa 5

Avalie $- \cos (u)$ em $\frac{π}{2}$ e em $0$ .

$2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$2 (- 0 + \cos (0))$

Etapa 6.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$2 (- 0 + 1)$

Etapa 6.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$2 (0 + 1)$

Etapa 6.4

Some $0$ e $1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 6.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$