Cálculo Exemplos

$\int \frac{21 x^{2}}{4 {(x^{3} + 5)}^{\frac{5}{4}}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x^{3} + 5$ . Depois, $d u = 3 x^{2} d x$ , então, $\frac{1}{3 x^{2}} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x^{3} + 5$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{3} + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 5]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.4

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Etapa 1.1.5

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2}$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{7}{4 u^{\frac{5}{4}}} d u$

Etapa 2

Como $\frac{7}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{7}{4}$ para fora da integral.

$\frac{7}{4} \int \frac{1}{u^{\frac{5}{4}}} d u$

Etapa 3

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 3.1

Mova $u^{\frac{5}{4}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{7}{4} \int {(u^{\frac{5}{4}})}^{- 1} d u$

Etapa 3.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{5}{4}})}^{- 1}$ .

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Etapa 3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{4} \int u^{\frac{5}{4} \cdot - 1} d u$

Etapa 3.2.2

Multiplique $\frac{5}{4} \cdot - 1$ .

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Etapa 3.2.2.1

Combine $\frac{5}{4}$ e $- 1$ .

$\frac{7}{4} \int u^{\frac{5 \cdot - 1}{4}} d u$

Etapa 3.2.2.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\frac{7}{4} \int u^{\frac{- 5}{4}} d u$

Etapa 3.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{7}{4} \int u^{- \frac{5}{4}} d u$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{5}{4}}$ com relação a $u$ é $- 4 u^{- \frac{1}{4}}$ .

$\frac{7}{4} (- 4 u^{- \frac{1}{4}} + C)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva $\frac{7}{4} (- 4 u^{- \frac{1}{4}} + C)$ como $\frac{7}{4} (- 4 \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}}) + C$ .

$\frac{7}{4} (- 4 \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}}) + C$

Etapa 5.2

Reescreva $\frac{7}{4} (- 4 \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}}) + C$ como $\frac{7}{4} \cdot \frac{- 4}{u^{\frac{1}{4}}} + C$ .

$\frac{7}{4} \cdot \frac{- 4}{u^{\frac{1}{4}}} + C$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{7}{4} (- \frac{4}{u^{\frac{1}{4}}}) + C$

Etapa 5.3.2

Multiplique $\frac{7}{4}$ por $\frac{4}{u^{\frac{1}{4}}}$ .

$- \frac{7 \cdot 4}{4 u^{\frac{1}{4}}} + C$

Etapa 5.3.3

Multiplique $7$ por $4$ .

$- \frac{28}{4 u^{\frac{1}{4}}} + C$

Etapa 5.3.4

Fatore $4$ de $28$ .

$- \frac{4 \cdot 7}{4 u^{\frac{1}{4}}} + C$

Etapa 5.3.5

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.5.1

Fatore $4$ de $4 u^{\frac{1}{4}}$ .

$- \frac{4 \cdot 7}{4 (u^{\frac{1}{4}})} + C$

Etapa 5.3.5.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{4 \cdot 7}{4 u^{\frac{1}{4}}} + C$

Etapa 5.3.5.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{7}{u^{\frac{1}{4}}} + C$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3} + 5$ .

$- \frac{7}{{(x^{3} + 5)}^{\frac{1}{4}}} + C$