Cálculo Exemplos

$\int 8 {(y^{4} + 4 y^{2} + 1)}^{2} (y^{3} + 2 y) d y$

Etapa 1

Deixe $u = y^{4} + 4 y^{2} + 1$ . Depois, $d u = (4 y^{3} + 8 y) d y$ , então, $\frac{1}{4} d u = (y^{3} + 2 y) d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = y^{4} + 4 y^{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $y^{4} + 4 y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{4} + 4 y^{2} + 1]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{4} + 4 y^{2} + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [4 y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [4 y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 y^{3} + \frac{d}{d y} [4 y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [4 y^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $4 y^{2}$ em relação a $y$ é $4 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$4 y^{3} + 4 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 y^{3} + 4 (2 y) + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$4 y^{3} + 8 y + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$4 y^{3} + 8 y + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $4 y^{3} + 8 y$ e $0$ .

$4 y^{3} + 8 y$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int 2 u^{2} \frac{4}{4} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.1.1

Cancele o fator comum.

$\int 2 u^{2} \frac{4}{4} d u$

Etapa 2.1.2

Reescreva a expressão.

$\int 2 u^{2} \cdot 1 d u$

Etapa 2.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\int 2 u^{2} d u$

Etapa 3

Como $2$ é constante com relação a $u$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int u^{2} d u$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva $2 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ como $2 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$ .

$2 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Etapa 5.2

Reescreva $2 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$ como $\frac{2}{3} u^{3} + C$ .

$\frac{2}{3} u^{3} + C$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y^{4} + 4 y^{2} + 1$ .

$\frac{2}{3} {(y^{4} + 4 y^{2} + 1)}^{3} + C$