Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{2} \frac{x - 4}{x^{2}} d x$

Etapa 1

Não foi possível concluir esta integral usando a substituição u. O Mathway usará outro método.

Etapa 2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int_{1}^{2} (x - 4) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{2} (x - 4) x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int_{1}^{2} (x - 4) x^{- 2} d x$

Etapa 3

Multiplique $(x - 4) x^{- 2}$ .

$\int_{1}^{2} x \cdot x^{- 2} - 4 x^{- 2} d x$

Etapa 4

Multiplique $x$ por $x^{- 2}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1

Multiplique $x$ por $x^{- 2}$ .

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Etapa 4.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int_{1}^{2} x^{1} x^{- 2} - 4 x^{- 2} d x$

Etapa 4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{1}^{2} x^{1 - 2} - 4 x^{- 2} d x$

Etapa 4.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\int_{1}^{2} x^{- 1} - 4 x^{- 2} d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{2} x^{- 1} d x + \int_{1}^{2} - 4 x^{- 2} d x$

Etapa 6

A integral de $x^{- 1}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 4 x^{- 2} d x$

Etapa 7

Como $- 4$ é constante com relação a $x$ , mova $- 4$ para fora da integral.

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - 4 \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - 4 (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.1

Substitua e simplifique.

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Etapa 9.1.1

Avalie $\ln (| x |)$ em $2$ e em $1$ .

$(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |) - 4 (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Etapa 9.1.2

Avalie $- x^{- 1}$ em $2$ e em $1$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Etapa 9.1.3

Simplifique.

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Etapa 9.1.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Etapa 9.1.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 (- \frac{1}{2} + 1)$

Etapa 9.1.3.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Etapa 9.1.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 \frac{- 1 + 2}{2}$

Etapa 9.1.3.5

Some $- 1$ e $2$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 (\frac{1}{2})$

Etapa 9.1.3.6

Combine $- 4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{- 4}{2}$

Etapa 9.1.3.7

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

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Etapa 9.1.3.7.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{2 \cdot - 2}{2}$

Etapa 9.1.3.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.1.3.7.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Etapa 9.1.3.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.1.3.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{- 2}{1}$

Etapa 9.1.3.7.2.4

Divida $- 2$ por $1$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 2$

Etapa 9.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) - 2$

Etapa 9.3

Simplifique.

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Etapa 9.3.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\ln (\frac{2}{| 1 |}) - 2$

Etapa 9.3.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\ln (\frac{2}{1}) - 2$

Etapa 9.3.3

Divida $2$ por $1$ .

$\ln (2) - 2$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\ln (2) - 2$

Forma decimal:

$- 1.30685281 \dots$

Etapa 11