Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{\sqrt{x} \sqrt{1 - x}} d x$

Etapa 1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\int \frac{1}{\sqrt{x (1 - x)}} d x$

Etapa 2

Complete o quadrado.

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Etapa 2.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot 1 + x (- x)$

Etapa 2.1.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$x + x (- x)$

Etapa 2.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x - x \cdot x$

Etapa 2.1.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.1.4.1

Mova $x$ .

$x - (x \cdot x)$

Etapa 2.1.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$x - x^{2}$

Etapa 2.1.5

Reordene $x$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + x$

Etapa 2.2

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = 1$

$c = 0$

Etapa 2.3

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 2.4

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 2.4.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot - 1}$

Etapa 2.4.2

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

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Etapa 2.4.2.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{- 1 (- 1)}{2 \cdot - 1}$

Etapa 2.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$d = - \frac{1}{2}$

Etapa 2.5

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 2.5.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot - 1}$

Etapa 2.5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot - 1}$

Etapa 2.5.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$e = 0 - \frac{1}{- 4}$

Etapa 2.5.2.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e = 0 - - \frac{1}{4}$

Etapa 2.5.2.1.4

Multiplique $- - \frac{1}{4}$ .

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Etapa 2.5.2.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{1}{4})$

Etapa 2.5.2.1.4.2

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$e = 0 + \frac{1}{4}$

Etapa 2.5.2.2

Some $0$ e $\frac{1}{4}$ .

$e = \frac{1}{4}$

Etapa 2.6

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}}} d x$

Etapa 3

Deixe $u = x - \frac{1}{2}$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = x - \frac{1}{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $x - \frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x - \frac{1}{2}]$

Etapa 3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - \frac{1}{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

Etapa 3.1.4

Como $- \frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 3.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + \frac{1}{4}}} d u$

Etapa 4

Escreva a expressão usando expoentes.

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Etapa 4.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + \frac{1^{2}}{4}}} d u$

Etapa 4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}} d u$

Etapa 5

Reescreva $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}} d u$

Etapa 6

Reordene $- u^{2}$ e ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - u^{2}}} d u$

Etapa 7

A integral de $\frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - u^{2}}}$ com relação a $u$ é $\arcsin (\frac{u}{\frac{1}{2}})$

$\arcsin (\frac{u}{\frac{1}{2}}) + C$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$\arcsin (u \cdot 2) + C$

Etapa 8.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\arcsin (2 u) + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - \frac{1}{2}$ .

$\arcsin (2 (x - \frac{1}{2})) + C$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\arcsin (2 x + 2 (- \frac{1}{2})) + C$

Etapa 10.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$\arcsin (2 x + 2 (\frac{- 1}{2})) + C$

Etapa 10.2.2

Cancele o fator comum.

$\arcsin (2 x + 2 (\frac{- 1}{2})) + C$

Etapa 10.2.3

Reescreva a expressão.

$\arcsin (2 x - 1) + C$