Cálculo Exemplos

$\int 9 x^{2} \sqrt{1 - x^{3}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 1 - x^{3}$ . Depois, $d u = - 3 x^{2} d x$ , então, $\frac{1}{- 3 x^{2}} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 1 - x^{3}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $1 - x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{3}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$0 - (3 x^{2})$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$0 - 3 x^{2}$

Etapa 1.1.4

Subtraia $3 x^{2}$ de $0$ .

$- 3 x^{2}$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int - 3 \sqrt{u} d u$

Etapa 2

Como $- 3$ é constante com relação a $u$ , mova $- 3$ para fora da integral.

$- 3 \int \sqrt{u} d u$

Etapa 3

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- 3 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- 3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva $- 3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ como $- 3 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- 3 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 5.2

Reescreva $- 3 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ como $- 2 u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- 2 u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - x^{3}$ .

$- 2 {(1 - x^{3})}^{\frac{3}{2}} + C$