Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Etapa 1

Deixe $u = e^{x} + 1$ . Depois, $d u = e^{x} d x$ , então, $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = e^{x} + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $e^{x} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{x} + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $e^{x}$ e $0$ .

$e^{x}$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = e^{x} + 1$ .

$u_{lower} = e^{0} + 1$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$u_{lower} = 1 + 1$

Etapa 1.3.2

Some $1$ e $1$ .

$u_{lower} = 2$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = e^{x} + 1$ .

$u_{upper} = e^{1} + 1$

Etapa 1.5

Simplifique.

$u_{upper} = e + 1$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = e + 1$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{2}^{e + 1} \frac{1}{u} d u$

Etapa 2

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{2}^{e + 1}$

Etapa 3

Avalie $\ln (| u |)$ em $e + 1$ e em $2$ .

$(\ln (| e + 1 |)) - \ln (| 2 |)$

Etapa 4

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| e + 1 |}{| 2 |})$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

$e + 1$ é aproximadamente $3.71828182$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\ln (\frac{e + 1}{| 2 |})$

Etapa 5.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\ln (\frac{e + 1}{2})$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\ln (\frac{e + 1}{2})$

Forma decimal:

$0.62011450 \dots$