Cálculo Exemplos

$\int e^{\cos (π x)} \sin (π x) d x$

Etapa 1

Deixe $u_{2} = \cos (π x)$ . Depois, $d u_{2} = - π \sin (π x) d x$ , então, $- \frac{1}{π} d u_{2} = \sin (π x) d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{2} = \cos (π x)$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\cos (π x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (π x)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = π x$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $π x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [π x]$

Etapa 1.1.2.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [π x]$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $π x$ .

$- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.3.1

Como $π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $π x$ em relação a $x$ é $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \sin (π x) (π \cdot 1)$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.3.3.1

Multiplique $π$ por $1$ .

$- \sin (π x) π$

Etapa 1.1.3.3.2

Reordene os fatores de $- \sin (π x) π$ .

$- π \sin (π x)$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int - e^{u_{2}} \frac{- 1}{- π} d u_{2}$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\int - e^{u_{2}} \frac{1}{π} d u_{2}$

Etapa 2.2

Combine $\frac{1}{π}$ e $e^{u_{2}}$ .

$\int - \frac{e^{u_{2}}}{π} d u_{2}$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{e^{u_{2}}}{π} d u_{2}$

Etapa 4

Como $\frac{1}{π}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{π}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{π} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 5

A integral de $e^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{π} (e^{u_{2}} + C)$

Etapa 6

Simplifique.

$- \frac{1}{π} e^{u_{2}} + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\cos (π x)$ .

$- \frac{1}{π} e^{\cos (π x)} + C$