Cálculo Exemplos

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{4 + x^{2}}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 4 + x^{2}$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 4 + x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $4 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 + x^{2}]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Etapa 1.1.5

Some $0$ e $2 x$ .

$2 x$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{{\sqrt{u - 4}}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Reescreva ${\sqrt{u - 4}}^{2}$ como $u - 4$ .

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Etapa 2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u - 4}$ como ${(u - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{({(u - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{{(u - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int \frac{{(u - 4)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{{(u - 4)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\int \frac{{(u - 4)}^{1}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.1.5

Simplifique.

$\int \frac{u - 4}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.2

Multiplique $\frac{u - 4}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u - 4}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Etapa 2.3

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{u - 4}{2 \sqrt{u}} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{u - 4}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{u - 4}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Etapa 4.2

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{2} \int (u - 4) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 4.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int (u - 4) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 4.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (u - 4) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Etapa 4.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} \int (u - 4) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 5

Expanda $(u - 4) u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} \int u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 5.2

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2} \int u^{1 - \frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 5.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 5.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{2 - 1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 5.6

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} (\int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + \int - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Etapa 8

Como $- 4$ é constante com relação a $u$ , mova $- 4$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - 4 \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - 4 (2 u^{\frac{1}{2}} + C))$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Simplifique.

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} - 8 u^{\frac{1}{2}}) + C$

Etapa 10.2

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} - 8 u^{\frac{1}{2}}) + C$

Etapa 11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 + x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} {(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 8 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Combine $\frac{2}{3}$ e ${(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - 8 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Etapa 12.2

Para escrever $- 8 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - 8 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Etapa 12.3

Combine $- 8 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 8 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3}) + C$

Etapa 12.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 8 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} + C$

Etapa 12.5

Multiplique $3$ por $- 8$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 24 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

Etapa 12.6

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 24 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3}$ .

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Etapa 12.6.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2 {(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 24 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3}$ .

$\frac{2 {(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 24 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 3} + C$

Etapa 12.6.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{2 {(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 24 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{6} + C$

Etapa 13

Reordene os termos.

$\frac{1}{6} (2 {(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 24 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$