Cálculo Exemplos

$\int \ln (\frac{\sqrt{1 - x}}{x + 1}) d x$

Etapa 1

Deixe $u_{1} = x + 1$ . Depois, $d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{1} = x + 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) d u_{1}$

Etapa 2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}})$ e $d v = 1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} - \int u_{1} (- \frac{u_{1} - 4}{(2 u_{1}) (u_{1} - 2)}) d u_{1}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Combine $u_{1}$ e $\frac{u_{1} - 4}{2 u_{1} (u_{1} - 2)}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} - \int - \frac{u_{1} (u_{1} - 4)}{2 u_{1} (u_{1} - 2)} d u_{1}$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $u_{1}$ .

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} - \int - \frac{u_{1} (u_{1} - 4)}{2 u_{1} (u_{1} - 2)} d u_{1}$

Etapa 3.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} - \int - \frac{u_{1} - 4}{2 (u_{1} - 2)} d u_{1}$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} - - \int \frac{u_{1} - 4}{2 (u_{1} - 2)} d u_{1}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + 1 \int \frac{u_{1} - 4}{2 (u_{1} - 2)} d u_{1}$

Etapa 5.2

Multiplique $\int \frac{u_{1} - 4}{2 (u_{1} - 2)} d u_{1}$ por $1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \int \frac{u_{1} - 4}{2 (u_{1} - 2)} d u_{1}$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} \int \frac{u_{1} - 4}{u_{1} - 2} d u_{1}$

Etapa 7

Divida $u_{1} - 4$ por $u_{1} - 2$ .

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Etapa 7.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$u_{1}$

$2$

$u_{1}$

$4$

Etapa 7.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $u_{1}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $u_{1}$ .

					$1$
	$u_{1}$	-	$2$		$u_{1}$	-	$4$

Etapa 7.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$1$
$u_{1}$	-	$2$		$u_{1}$	-	$4$
			+	$u_{1}$	-	$2$

Etapa 7.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $u_{1} - 2$ .

				$1$
$u_{1}$	-	$2$		$u_{1}$	-	$4$
			-	$u_{1}$	+	$2$

Etapa 7.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$1$
$u_{1}$	-	$2$		$u_{1}$	-	$4$
			-	$u_{1}$	+	$2$
					-	$2$

Etapa 7.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} \int 1 - \frac{2}{u_{1} - 2} d u_{1}$

Etapa 8

Divida a integral única em várias integrais.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (\int d u_{1} + \int - \frac{2}{u_{1} - 2} d u_{1})$

Etapa 9

Aplique a regra da constante.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int - \frac{2}{u_{1} - 2} d u_{1})$

Etapa 10

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (u_{1} + C - \int \frac{2}{u_{1} - 2} d u_{1})$

Etapa 11

Como $2$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $2$ para fora da integral.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (u_{1} + C - (2 \int \frac{1}{u_{1} - 2} d u_{1}))$

Etapa 12

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (u_{1} + C - 2 \int \frac{1}{u_{1} - 2} d u_{1})$

Etapa 13

Deixe $u_{2} = u_{1} - 2$ . Depois, $d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 13.1

Deixe $u_{2} = u_{1} - 2$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 13.1.1

Diferencie $u_{1} - 2$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} - 2]$

Etapa 13.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $u_{1} - 2$ com relação a $u_{1}$ é $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 2]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 2]$

Etapa 13.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [- 2]$

Etapa 13.1.4

Como $- 2$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $- 2$ em relação a $u_{1}$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 13.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 13.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (u_{1} + C - 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 14

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (u_{1} + C - 2 (\ln (| u_{2} |) + C))$

Etapa 15

Simplifique.

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Etapa 15.1

Simplifique.

$\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (u_{1} - 2 \ln (| u_{2} |)) + C$

Etapa 15.2

Reescreva $\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (u_{1} - 2 \ln (| u_{2} |)) + C$ como $\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{u_{1}}{2} - \ln (| u_{2} |) + C$ .

$\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{u_{1}}{2} - \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 15.3

Simplifique.

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Etapa 15.3.1

Para escrever $\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{u_{1}}{2} - \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 15.3.2

Combine $\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1} \cdot 2}{2} + \frac{u_{1}}{2} - \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 15.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1} \cdot 2 + u_{1}}{2} - \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 15.3.4

Mova $2$ para a esquerda de $\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1}$ .

$\frac{2 \ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1} + u_{1}}{2} - \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 16

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 16.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x + 1$ .

$\frac{2 \ln (\frac{\sqrt{- (x + 1) + 2}}{x + 1}) (x + 1) + x + 1}{2} - \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 16.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $u_{1} - 2$ .

$\frac{2 \ln (\frac{\sqrt{- (x + 1) + 2}}{x + 1}) (x + 1) + x + 1}{2} - \ln (| u_{1} - 2 |) + C$

Etapa 16.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x + 1$ .

$\frac{2 \ln (\frac{\sqrt{- (x + 1) + 2}}{x + 1}) (x + 1) + x + 1}{2} - \ln (| x + 1 - 2 |) + C$

Etapa 17

Simplifique.

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Etapa 17.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \ln (\frac{\sqrt{- x - 1 \cdot 1 + 2}}{x + 1}) (x + 1) + x + 1}{2} - \ln (| x + 1 - 2 |) + C$

Etapa 17.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 \ln (\frac{\sqrt{- x - 1 + 2}}{x + 1}) (x + 1) + x + 1}{2} - \ln (| x + 1 - 2 |) + C$

Etapa 17.3

Some $- 1$ e $2$ .

$\frac{2 \ln (\frac{\sqrt{- x + 1}}{x + 1}) (x + 1) + x + 1}{2} - \ln (| x + 1 - 2 |) + C$

Etapa 17.4

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{2 \ln (\frac{\sqrt{- x + 1}}{x + 1}) (x + 1) + x + 1}{2} - \ln (| x - 1 |) + C$

Etapa 18

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} (2 \ln (\frac{\sqrt{- x + 1}}{x + 1}) (x + 1) + x + 1) - \ln (| x - 1 |) + C$