Cálculo Exemplos

$\int \sqrt{\cos (6 x)} \sin (6 x) d x$

Etapa 1

Deixe $u_{2} = \cos (6 x)$ . Depois, $d u_{2} = - 6 \sin (6 x) d x$ , então, $- \frac{1}{6} d u_{2} = \sin (6 x) d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{2} = \cos (6 x)$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\cos (6 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 6 x$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $6 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x]$

Etapa 1.1.2.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [6 x]$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $6 x$ .

$- \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.3.2

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$- 6 \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 6 \sin (6 x) \cdot 1$

Etapa 1.1.3.4

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$- 6 \sin (6 x)$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int \sqrt{u_{2}} \frac{1}{- 6} d u_{2}$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \sqrt{u_{2}} (- \frac{1}{6}) d u_{2}$

Etapa 2.2

Combine $\sqrt{u_{2}}$ e $\frac{1}{6}$ .

$\int - \frac{\sqrt{u_{2}}}{6} d u_{2}$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{6} d u_{2}$

Etapa 4

Como $\frac{1}{6}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{6}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{6} \int \sqrt{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 5

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{2}}$ como ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{6} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{6} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Reescreva $- \frac{1}{6} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C)$ como $- \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 7.2

Reescreva $- \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$ como $\frac{- 1}{9} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{- 1}{9} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 7.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{9} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\cos (6 x)$ .

$- \frac{1}{9} {\cos (6 x)}^{\frac{3}{2}} + C$