Cálculo Exemplos

$\int \frac{4 x}{5 {(6 x^{2} - 7)}^{\frac{2}{3}}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 6 x^{2} - 7$ . Depois, $d u = 12 x d x$ , então, $\frac{1}{12} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 6 x^{2} - 7$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $6 x^{2} - 7$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 7]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x^{2} - 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{2}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [- 7]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7$ em relação a $x$ é $0$ .

$12 x + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $12 x$ e $0$ .

$12 x$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{4}{5 u^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{12} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique $\frac{4}{5 u^{\frac{2}{3}}}$ por $\frac{1}{12}$ .

$\int \frac{4}{5 u^{\frac{2}{3}} \cdot 12} d u$

Etapa 2.2

Multiplique $12$ por $5$ .

$\int \frac{4}{60 u^{\frac{2}{3}}} d u$

Etapa 2.3

Fatore $4$ de $4$ .

$\int \frac{4 (1)}{60 u^{\frac{2}{3}}} d u$

Etapa 2.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.4.1

Fatore $4$ de $60 u^{\frac{2}{3}}$ .

$\int \frac{4 (1)}{4 (15 u^{\frac{2}{3}})} d u$

Etapa 2.4.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{4 \cdot 1}{4 (15 u^{\frac{2}{3}})} d u$

Etapa 2.4.3

Reescreva a expressão.

$\int \frac{1}{15 u^{\frac{2}{3}}} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{15}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{15}$ para fora da integral.

$\frac{1}{15} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Etapa 4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1

Mova $u^{\frac{2}{3}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{15} \int {(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d u$

Etapa 4.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{15} \int u^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d u$

Etapa 4.2.2

Multiplique $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Etapa 4.2.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{15} \int u^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d u$

Etapa 4.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{15} \int u^{\frac{- 2}{3}} d u$

Etapa 4.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{15} \int u^{- \frac{2}{3}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{2}{3}}$ com relação a $u$ é $3 u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{15} (3 u^{\frac{1}{3}} + C)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Reescreva $\frac{1}{15} (3 u^{\frac{1}{3}} + C)$ como $\frac{1}{15} \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$ .

$\frac{1}{15} \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$

Etapa 6.2

Reescreva $\frac{1}{15} \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$ como $\frac{1}{5} u^{\frac{1}{3}} + C$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{1}{3}} + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $6 x^{2} - 7$ .

$\frac{1}{5} {(6 x^{2} - 7)}^{\frac{1}{3}} + C$