Cálculo Exemplos

$\int_{- \frac{π}{4}}^{0} \tan (x) \sec^{2} (x) d x$

Etapa 1

Deixe $u = \sec (x)$ . Depois, $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , então, $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = \sec (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = \sec (x)$ .

$u_{lower} = \sec (- \frac{π}{4})$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$u_{lower} = \sec (\frac{7 π}{4})$

Etapa 1.3.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$u_{lower} = \sec (\frac{π}{4})$

Etapa 1.3.3

O valor exato de $\sec (\frac{π}{4})$ é $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = \frac{2}{\sqrt{2}}$

Etapa 1.3.4

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 1.3.5

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 1.3.5.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 1.3.5.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 1.3.5.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 1.3.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 1.3.5.5

Some $1$ e $1$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 1.3.5.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 1.3.5.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.3.5.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 1.3.5.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.3.5.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.3.5.6.4.1

Cancele o fator comum.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.3.5.6.4.2

Reescreva a expressão.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 1.3.5.6.5

Avalie o expoente.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 1.3.6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.3.6.1

Cancele o fator comum.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 1.3.6.2

Divida $\sqrt{2}$ por $1$ .

$u_{lower} = \sqrt{2}$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = \sec (x)$ .

$u_{upper} = \sec (0)$

Etapa 1.5

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$u_{upper} = 1$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = \sqrt{2}$

$u_{upper} = 1$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{\sqrt{2}}^{1} u d u$

Etapa 2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u$ com relação a $u$ é $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{\sqrt{2}}^{1}$

Etapa 3

Simplifique cancelando o expoente com radical.

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Etapa 3.1

Avalie $\frac{1}{2} u^{2}$ em $1$ e em $\sqrt{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} {\sqrt{2}}^{2}$

Etapa 3.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} {\sqrt{2}}^{2}$

Etapa 3.2.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} {\sqrt{2}}^{2}$

Etapa 3.3

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 3.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 3.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Etapa 3.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Etapa 3.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{1}$

Etapa 3.3.5

Avalie o expoente.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2$

Etapa 3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.4.1

Simplifique.

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Etapa 3.4.1.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} - 2 (\frac{1}{2})$

Etapa 3.4.1.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 2}{2}$

Etapa 3.4.1.3

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 3.4.1.3.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2}$

Etapa 3.4.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.4.1.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Etapa 3.4.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} + \frac{- 1}{1}$

Etapa 3.4.1.3.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} - 1$

Etapa 3.4.2

Simplifique.

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Etapa 3.4.2.1

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 3.4.2.2

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.4.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.4.2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.2.4.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1 - 2}{2}$

Etapa 3.4.2.4.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Etapa 3.4.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2}$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{1}{2}$

Forma decimal:

$- 0.5$