Cálculo Exemplos

$\int \frac{\ln (x + 4)}{x + 4} d x$

Etapa 1

Deixe $u_{1} = x + 4$ . Depois, $d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{1} = x + 4$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.1.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Etapa 2

Deixe $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Depois, $d u_{2} = \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ , então, $u_{1} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $\ln (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}}$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int u_{2} d u_{2}$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u_{2}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Etapa 4

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 4.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\ln (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (u_{1}) + C$

Etapa 4.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x + 4$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (x + 4) + C$