Cálculo Exemplos

$\int 3 x^{5} \sqrt{x^{3} + 1} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x^{3} + 1$ . Depois, $d u = 3 x^{2} d x$ , então, $\frac{1}{3 x^{2}} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe $u = x^{3} + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Etapa 1.1.5

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2}$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int {\sqrt[3]{u - 1}}^{3} \sqrt{u} d u$

Etapa 2

Simplifique cancelando o expoente com radical.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva ${\sqrt[3]{u - 1}}^{3}$ como $u - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{u - 1}$ como ${(u - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\int {({(u - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} \sqrt{u} d u$

Etapa 2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(u - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} \sqrt{u} d u$

Etapa 2.1.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$\int {(u - 1)}^{\frac{3}{3}} \sqrt{u} d u$

Etapa 2.1.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\int {(u - 1)}^{\frac{3}{3}} \sqrt{u} d u$

Etapa 2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\int {(u - 1)}^{1} \sqrt{u} d u$

Etapa 2.1.5

Simplifique.

$\int (u - 1) \sqrt{u} d u$

Etapa 2.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (u - 1) u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3

Expanda $(u - 1) u^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int u \cdot u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.2

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int u^{1} u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int u^{1 + \frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int u^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.6

Some $2$ e $1$ .

$\int u^{\frac{3}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{3}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C + \int - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C - \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C - (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Etapa 8

Simplifique.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3} + 1$ .

$\frac{2}{5} {(x^{3} + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} {(x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$