Cálculo Exemplos

$\int \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

Etapa 1

Deixe $u_{1} = \ln (x)$ . Depois, $d u_{1} = \frac{1}{x} d x$ , então, $x d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{1} = \ln (x)$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{u_{1}}{e^{u_{1}}} d u_{1}$

Etapa 2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1

Negative o expoente de $e^{u_{1}}$ e o mova para fora do denominador.

$\int u_{1} {(e^{u_{1}})}^{- 1} d u_{1}$

Etapa 2.2

Multiplique os expoentes em ${(e^{u_{1}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u_{1} e^{u_{1} \cdot - 1} d u_{1}$

Etapa 2.2.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $u_{1}$ .

$\int u_{1} e^{- 1 \cdot u_{1}} d u_{1}$

Etapa 2.2.3

Reescreva $- 1 u_{1}$ como $- u_{1}$ .

$\int u_{1} e^{- u_{1}} d u_{1}$

Etapa 3

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = u_{1}$ e $d v = e^{- u_{1}}$ .

$u_{1} (- e^{u_{2}}) - \int - e^{u_{2}} d u_{1}$

Etapa 4

Aplique a regra da constante.

$u_{1} (- e^{u_{2}}) - (- e^{u_{2}} u_{1} + C)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva $u_{1} (- e^{u_{2}}) - (- e^{u_{2}} u_{1} + C)$ como $- u_{1} e^{u_{2}} - (- e^{u_{2}} u_{1}) + C$ .

$- u_{1} e^{u_{2}} - (- e^{u_{2}} u_{1}) + C$

Etapa 5.2

Reescreva $- u_{1} e^{u_{2}} - (- e^{u_{2}} u_{1}) + C$ como $- u_{1} e^{u_{2}} + e^{u_{2}} u_{1} + C$ .

$- u_{1} e^{u_{2}} + e^{u_{2}} u_{1} + C$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Some $- u_{1} e^{u_{2}}$ e $e^{u_{2}} u_{1}$ .

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Etapa 5.3.1.1

Reordene $e^{u_{2}}$ e $u_{1}$ .

$- u_{1} e^{u_{2}} + u_{1} e^{u_{2}} + C$

Etapa 5.3.1.2

Some $- u_{1} e^{u_{2}}$ e $u_{1} e^{u_{2}}$ .

$0 + C$

Etapa 5.3.2

Some $0$ e $C$ .

$C$