Cálculo Exemplos

$\int x^{5} {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x^{3} + 1$ . Depois, $d u = 3 x^{2} d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x^{3} + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Etapa 1.1.5

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2}$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int {\sqrt[3]{u - 1}}^{3} u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Reescreva ${\sqrt[3]{u - 1}}^{3}$ como $u - 1$ .

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Etapa 2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{u - 1}$ como ${(u - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\int {({(u - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} d u$

Etapa 2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(u - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} d u$

Etapa 2.1.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$\int {(u - 1)}^{\frac{3}{3}} u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} d u$

Etapa 2.1.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\int {(u - 1)}^{\frac{3}{3}} u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} d u$

Etapa 2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\int {(u - 1)}^{1} u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} d u$

Etapa 2.1.5

Simplifique.

$\int (u - 1) u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} d u$

Etapa 2.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (u - 1) \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} d u$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int u \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} d u$

Etapa 3.2

Combine $u$ e $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{3}$ .

$\int \frac{u \cdot u^{\frac{1}{2}}}{3} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} d u$

Etapa 3.3

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{\frac{1}{2}}}{3} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} d u$

Etapa 3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{u^{1 + \frac{1}{2}}}{3} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} d u$

Etapa 3.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int \frac{u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{3} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} d u$

Etapa 3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int \frac{u^{\frac{2 + 1}{2}}}{3} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} d u$

Etapa 3.7

Some $2$ e $1$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} d u$

Etapa 4

Reescreva $- 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3}$ como $- \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3}$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} d u$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} d u + \int - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} d u$

Etapa 6

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} d u$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{3}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} d u$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} d u$

Etapa 9

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - (\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - \frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Simplifique.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 11.2

Reescreva $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ como $\frac{2}{15} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{2}{15} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 11.3

Simplifique.

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Etapa 11.3.1

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{15} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 11.3.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{2}{15} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 12

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3} + 1$ .

$\frac{2}{15} {(x^{3} + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{9} {(x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$